二分查找

二分查找：效率的典范

在无序中寻找目标，我们只能逐一排查（O(n)）。但如果数据已经排好队，我们有一种聪明得多的方法——二分查找。它每次将搜索范围砍掉一半，是对“分治”思想最纯粹、最经典的诠释，堪称效率的典范。

二分查找的基本思想

想象在电话簿中找名字。你不会从第一页开始翻，而是先打开中间，看目标名字在左半部分还是右半部分，然后丢弃无关的一半，在剩下的一半中重复此过程。这就是二分查找，前提是数据必须有序。

为什么需要二分查找？

它将线性搜索的 O(n) 复杂度提升到了惊人的 O(log n)。这意味着，在10亿条数据中找一个元素，线性搜索最坏需要10亿次比较，而二分查找最多只需约30次！这种指数级的效率提升，是处理大规模有序数据的基石。

清晰的算法框架

二分查找的难点在于边界条件的处理（< 还是 <=，mid+1 还是 mid-1）。掌握一个清晰的框架至关重要。

// 在升序数组nums中查找目标值target，返回其索引，找不到则返回-1
int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1; // 定义搜索区间为[left, right]
    while (left <= right) { // 区间有效时继续
        int mid = left + (right - left) / 2; // 防止溢出
        if (nums[mid] == target) return mid;
        else if (nums[mid] < target) left = mid + 1; // 目标在右半部分
        else right = mid - 1; // 目标在左半部分
    }
    return -1; // 区间为空，未找到
}

二分查找的应用场景

它远不止于在数组中找一个数。任何具有单调性的问题都可以尝试二分思想：

• 在连续函数中求根。
• 寻找旋转排序数组中的最小值。
• 计算平方根。
• 分配问题中的“最大值最小化”（如船运货物）。

总结

二分查找的魅力在于其简洁而强大的思想。它教会我们，通过对问题的巧妙划分和条件的有效利用，可以极大地缩小解空间。