图

图的基础：世界的连接方式

如果树刻画了清晰的层次从属，那么图则描述了万物之间最普遍的关系。从社交网络的好友关系到城市间的交通路网，从互联网的网页链接到化学分子结构，图是刻画复杂系统与关联的终极语言。

图的基本概念

图由顶点和边组成。边可以是有方向的（如微博的关注），成为有向图；也可以是无方向的（如微信好友），成为无向图。边还可以有权重，代表距离、成本或强度。

为什么需要图？

当数据之间的关系错综复杂，无法用简单的线性或层次结构表示时，图是唯一的工具。它抽象掉了具体事物的细节，只关注“谁和谁有关联”，从而让我们能够分析和解决路径寻找、网络流量、社区发现、推荐系统等宏观问题。

图的存储：两种核心方式

如何将抽象的图存入计算机？两种主流方法各有千秋：

1. 邻接矩阵：用一个二维数组表示。matrix[i][j] 为1（或权重）表示顶点i到j有边。查询两点间是否有边极快（O(1)），但占用空间大（O(n²)），适合稠密图。
2. 邻接表：为每个顶点维护一个链表，存储它所有邻居。空间利用率高（O(顶点数+边数)），适合稀疏图，但查询特定边稍慢。

// 邻接表的简单表示（使用vector）
vector<list<int>> adjList(vertexCount); // 每个顶点对应一个链表
// 添加一条从u到v的边
adjList[u].push_back(v);

图的应用场景

除了开头的例子，图的算法驱动着现代科技：GPS导航使用最短路径算法、搜索引擎的网页排名基于链接分析、社交平台的“可能认识的人”来自图遍历、物流优化依赖于网络流理论。

总结

学习图论，是从处理个体数据迈向理解和分析复杂系统的关键一跃。它告诉我们，事物的价值不仅在于自身，更在于它所处的连接网络。