替罪羊树
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大佬1的理解和模版：https://zhuanlan.zhihu.com/p/21263304，适合理解替罪羊树的原理，但是没有考虑很多点值都相等的情况，所有的点都是分开的，这点不是很好。
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大佬2的理解和模版：https://www.cnblogs.com/tlx-blog/p/12900730.html，考虑了不同点值相等的情况，都合在一起，每个函数讲解得很好。
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简介：
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名称：替罪羊树（Scapegoat Tree）
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本质：优雅的暴力，用少量简单的代码，实现平衡树等能做的事情，经常做到“暴力碾标算”的一种神奇的数据结构～
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一些abstract：
对于一棵二叉搜索树，最重要的事情就是维护他的平衡，以保证对于每次操作（插入，查找，删除）的时间均摊下来都是O(logN)。
而为了维护树的平衡，各种平衡二叉树方法大同小异，本质几乎都是通过旋转的操作来实现（AVL树，红黑树，Splay，Treap（可持久化Treap不需要旋转）），只是在判断什么时候应该旋转上有所不同。但是替罪羊树不同，人家不转也能玩得转x。
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核心操作：
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重构：可以重构整棵树，也可以重构子树。操作其实十分暴力，就是把需要重构的树拍平成一条链，显然这条链一定是有序的～。最后把这条链的中点拽起来，作为新的树的根，左边的序列作为左子树，右边的序列作为右子树，递归实现即可。
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插入：
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一些细节：
一开始和普通的二叉搜索树一样，但是插入操作结束以后，从插入位置开始一层一层往上回溯，每一层都进行如下判断：
h(v) > log(1/α) × size(tree)（不同人的式子不一样，但是大同小异吧，这里h(v)为左右子树中高度的max，α为一个常数，介于0.5到1，通常取0.7、0.8、0.75，size就是树的节点个数啦～）
然后一直找到最后不满足这个式子的那一层（就是即将大于右边的那一层，也可以理解为从根节点到这个点的路径中，第一个导致高度不大于右侧的点），也就是h(v)每次加一，早晚会大于右侧，然后重构这一层的子树。
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关于复杂度：
每次插入的复杂度显然和别的树一样，为O(logn)，每次重构树大概是O(n)级别（吃瓜群众：那不炸了吗？你在说什么？！）。但因为不是每次都要重构一整颗树，玄学地均摊下来，复杂度也是O(logn)（有一种平衡树中平衡因子的复杂度的玄学感x），并不用担心复杂度爆炸。
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胡扯阶段：
有趣的是，因为一个节点导致整个子树被拍扁，然后根节点被提了起来，根节点成了最后的“替罪羊”，这大概就是“替罪羊”名字的由来吧。
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删除：
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删除节点不是真正的删除，而是打标记的惰性删除，打上标记的节点具有如下特征：
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不参与查找操作
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参与其余操作
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当删除的数量超过树节点数的一半（这个也可以变化），重构这棵树。
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关于复杂度：仍然是O(logn)，不会证明，知道就行。
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查找第k大的值，以及给一个树查看它的rank：和其余树没什么区别，只是不能计算删除节点。
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代码：搬用https://zhuanlan.zhihu.com/p/21263304的代码，这里只学此数据结构的思想，加了注释（主食x），应该能懂吧。
#include <vector> using namespace std; namespace Scapegoat_Tree { #define MAXN (100000 + 10) const double alpha = 0.75; struct Node { Node * ch[2]; int key, size, cover; // size为有效节点的数量，cover为节点总数量 bool exist; // 是否存在（即是否被删除） void PushUp(void) { size = ch[0]->size + ch[1]->size + (int)exist; cover = ch[0]->cover + ch[1]->cover + 1; } bool isBad(void) { // 判断是否需要重构 return ((ch[0]->cover > cover * alpha + 5) || (ch[1]->cover > cover * alpha + 5)); } }; struct STree { protected: Node mem_poor[MAXN]; //内存池，直接分配好避免动态分配内存占用时间 Node *tail, *root, *null; // 用null表示NULL的指针更方便，tail为内存分配指针，root为根 Node *bc[MAXN]; int bc_top; // 储存被删除的节点的内存地址，分配时可以再利用这些地址 Node * NewNode(int key) { Node * p = bc_top ? bc[--bc_top] : tail++; p->ch[0] = p->ch[1] = null; p->size = p->cover = 1; p->exist = true; p->key = key; return p; } void Travel(Node * p, vector<Node *>&v) { // 中序遍历 得到所有还活着的点的序列 if (p == null) return; Travel(p->ch[0], v); if (p->exist) v.push_back(p); // 构建序列 else bc[bc_top++] = p; // 回收 Travel(p->ch[1], v); } Node * Divide(vector<Node *>&v, int l, int r) { // 根据序列得到每个节点的儿子信息 if (l >= r) return null; int mid = (l + r) >> 1; Node * p = v[mid]; p->ch[0] = Divide(v, l, mid); p->ch[1] = Divide(v, mid + 1, r); p->PushUp(); // 自底向上维护，先维护子树 return p; } void Rebuild(Node * &p) { // 重构包括重新拿到存活的节点，以及平衡地得到每个节点的儿子信息 static vector<Node *>v; v.clear(); Travel(p, v); p = Divide(v, 0, v.size()); } Node ** Insert(Node *&p, int val) { // 插入操作 if (p == null) { p = NewNode(val); return &null; } else { p->size++; p->cover++; // 返回值储存需要重构的位置，若子树也需要重构，本节点开始也需要重构，以本节点为根重构 Node ** res = Insert(p->ch[val >= p->key], val); if (p->isBad()) res = &p; // 如果这层也沦陷了就更新，否则就是子树的答案一直返回 return res; } } void Erase(Node *p, int id) { // 删掉第id大的 p->size--; int offset = p->ch[0]->size + p->exist; // 根节点是第几大的 if (p->exist && id == offset) { // 删就对了 p->exist = false; return; } else { if (id <= offset) Erase(p->ch[0], id); // 往左闪 else Erase(p->ch[1], id - offset); // 往右删 } } public: void Init(void) { tail = mem_poor; null = tail++; null->ch[0] = null->ch[1] = null; null->cover = null->size = null->key = 0; root = null; bc_top = 0; } STree(void) { Init(); } void Insert(int val) { Node ** p = Insert(root, val); if (*p != null) Rebuild(*p); // 拿到rebuild的位置，开始重构 } int Rank(int val) { // 拿到val值的排名，如果有重复的取拍平序列的第一次出现的位置 Node * now = root; int ans = 1; while (now != null) { // 非递归求排名 if (now->key >= val) now = now->ch[0]; else { ans += now->ch[0]->size + now->exist; now = now->ch[1]; } } return ans; } int Kth(int k) { Node * now = root; while (now != null) { // 非递归求第K大 if (now->ch[0]->size + 1 == k && now->exist) return now->key; // 只有这样才是自己 else if (now->ch[0]->size >= k) now = now->ch[0]; // 往左找 else k -= now->ch[0]->size + now->exist, now = now->ch[1]; // 往右找，别忘了更新k } } void Erase(int k) { // 删掉值为k的点 Erase(root, Rank(k)); // 但是注意 如果值为k的点不在这个树里，这样是不对的。 if (root->size < alpha * root->cover) Rebuild(root); // 重构条件 } void Erase_kth(int k) { Erase(root, k); if (root->size < alpha * root->cover) Rebuild(root); // 重构条件 } }; #undef MAXN } INLINE void read(int &x) { static char c; c = NC(); int b = 1; for (x = 0; !(c >= '0' && c <= '9'); c = NC()) if(c == '-') b = -b; for (; c >= '0' && c <= '9'; x = x * 10 + c - '0', c = NC()); x *= b; } using namespace Scapegoat_Tree; STree _t; int n, k, m; int main(void) { //freopen("in.txt", "r", stdin); //freopen("out.txt", "w", stdout); read(n); while (n--) { read(k), read(m); switch (k) { case 1: _t.Insert(m); break; case 2: _t.Erase(m); break; case 3: printf("%d\n", _t.Rank(m)); break; case 4: printf("%d\n", _t.Kth(m)); break; case 5: printf("%d\n", _t.Kth(_t.Rank(m) - 1)); break; case 6: printf("%d\n", _t.Kth(_t.Rank(m + 1))); break; } /* DEBUG INFO vector<Node *> xx; _t.Travel(_t.root, xx); cout << "::"; for(int i = 0; i < xx.size(); i++) cout << xx[i]->key << ' '; cout << endl; */ } return 0; }