【知识】模拟退火 & 爬山法

模拟退火

概念：

  1. 温度（步长）：

    • 初始温度 \(T\)

    • 终止温度

    • 衰减系数 $ 0 \sim 1$

  2. 随机选择一个点：

    \(f(新点) - f(当前点) = \Delta E\)

    • \(\Delta E < 0\) 跳到新点
    • \(\Delta E>0\) 以一定概率跳过去，概率为 \(e^{- \frac{\Delta E}{T}}\)

    如何退火（降温）？

    模拟退火时我们有三个参数：初始温度 \(T_0\)，降温系数 \(d\)，终止温度 \(T_k\)。其中 \(T_0\) 是一个比较大的数，\(d\) 是一个非常接近 \(1\) 但是小于 \(1\) 的数，\(T_k\) 是一个接近 \(0\) 的正数。

    首先让温度 \(T=T_0\)，然后按照上述步骤进行一次转移尝试，再让 \(T=d\cdot T\)。当 \(T<T_k\) 时模拟退火过程结束，当前最优解即为最终的最优解。

    注意为了使得解更为精确，我们通常不直接取当前解作为答案，而是在退火过程中维护遇到的所有解的最优值。

    过程如下图：

技巧：

卡时：while ((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC < MAX_TIME) simulateAnneal();

这里的 MAX_TIME 是一个自定义的略小于时限的数（单位：s）。

题型：

  • A Star not a Tree?

    模拟退火裸题，也可以用三分套三分做

    #include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<double, double> PDD;
const int N = 110;

int n;
PDD q[N];
double ans = 1e8;

double rand(double l, double r)
{
	return (double)rand() / RAND_MAX * (r - l) + l;
}

double get_dist(PDD a, PDD b)
{
	double dx = a.x - b.x;
	double dy = a.y - b.y;
	return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}

double calc(PDD p)
{
	double res = 0;
	for (int i = 0; i < n; i ++ )
		res += get_dist(p, q[i]);
	ans = min(ans, res);
	return res;
}

void simulate_anneal()
{
	PDD cur(rand(0, 10000), rand(0, 10000));
	for (double t = 1e4; t > 1e-4; t *= 0.9)
	{
		PDD np(rand(cur.x - t, cur.x + t), rand(cur.y - t, cur.y + t));
		double dt = calc(np) - calc(cur);
		if (exp(-dt / t) > rand(0, 1)) cur = np;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%lf%lf", &q[i].x, &q[i].y);

	for (int i = 0; i < 100; i ++ ) simulate_anneal();
	printf("%.0lf\n", ans);

	return 0;
}

  • P4044 [AHOI2014/JSOI2014] 保龄球

    对于每个轮次，有三种情况：全中，补中，失误。我们需要将打出的所有轮次的顺序重新排列，使得得分最高。

    其中，补中会使选手在下一轮中的第一次尝试的得分将会以双倍计入总分。失误的情况属于一般情况，不具有特殊性，所以不做处理。最重要的是全中的情况。全中会使选手在计算总分时，下一轮的得分将会被乘 \(2\) 计入总分，最需要 特殊处理 的是，当原来最后一轮次全中，我们在重新排列的时候，也需要最后一轮次是全中，因为这样子才会有奖励的轮次，需要进行的轮数和重排前所进行的轮数是一致的，才满足题意。

    本题目中，我们用温度 \(T\) ，表示答案更新范围，当 \(T \rightarrow 0\)，也就是达到终止温度 \(T_E\) 时，我们就获得了一个答案。

    如何随机一个序列，只需要随机交换两个数即可。

    #include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 55;

int n, m;
PII q[N];
int ans;

int calc()
{
	int res = 0;
	for (int i = 0; i < m; i ++ )
	{
		res += q[i].x + q[i].y;
		if (i < n)
		{
			if (q[i].x == 10) res += q[i + 1].x + q[i + 1].y;
			else if (q[i].x + q[i].y == 10)
				res += q[i + 1].x;
		}
	}
	ans = max(ans, res);
	return res;
}

void simulate_anneal()
{
	for (double t = 1e4; t > 1e-4; t *= 0.99)
	{
		int a = rand() % m, b = rand() % m;
		int x = calc();
		swap(q[a], q[b]);
		if (n + (q[n - 1].x == 10) == m)
		{
			int y = calc();
			int delta = y - x;
			if (exp(delta / t) < (double)rand() / RAND_MAX)
				swap(q[a], q[b]);
		}
		else swap(q[a], q[b]);
	}
}

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> q[i].x >> q[i].y;
	if (q[n - 1].x == 10) m = n + 1, cin >> q[n].x >> q[n].y;
	else m = n;

	for (int i = 0; i < 100; i ++ ) simulate_anneal();

	cout << ans << endl;
	return 0;
}

  • P2503 [HAOI2006] 均分数据

    已知 \(n\) 个正整数 \(a_1,a_2 ... a_n\) 。将它们分成 \(m\) 组，使得方差最小。

    \[\sigma = \sqrt{\frac 1m \sum\limits_{i=1}^m(\overline x - x_i)^2},\overline x = \frac 1m \sum\limits_{i=1}^m x_i \]

    其中 \(\sigma\) 为均方差，\(\bar{x}\) 为各组数据和的平均值。

    原式：

    \[\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^n\ (x_i-\bar{x})^2 \over n}\quad\bar{x}={\sum_{i=1}^n\ x_i \over n} \]

    化简：

    \[n\sigma^2=\sum_{i=1}^n\ (x_i-\bar{x})^2 \]

    拆开：

    \[n\sigma^2=\sum_{i=1}^n x_i^2-2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2 \]

    \(\because -2\bar{x}\sum_{i=1}^{n}x_i + \sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2\) 为定值

    也可以推测出当 \(\sum_{i=1}^{n}x_i\) 为定值，每个 \(x\) 尽量接近时，\(\sum_{i=1}^n x_i^2\) 最大。

    于是我们可以将数组 random_shuffle 若干次，每次贪心的取值，使每个 x 尽量相等（把新加进来的数，加给最小 x），取最大值即可。

    #include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 25, M = 10;

int n, m;
int w[N], s[M];
double ans = 1e8;

double calc()
{
	memset(s, 0, sizeof s);
	for (int i = 0; i < n; i ++ )
	{
		int k = 0;
		for (int j = 0; j < m; j ++ )
			if (s[j] < s[k])
				k = j;
		s[k] += w[i];
	}

	double avg = 0;
	for (int i = 0; i < m; i ++ ) avg += (double)s[i] / m;
	double res = 0;
	for (int i = 0; i < m; i ++ )
		res += (s[i] - avg) * (s[i] - avg);
	res = sqrt(res / m);
	ans = min(ans, res);
	return res;
}

void simulate_anneal()
{
	random_shuffle(w, w + n);

	for (double t = 1e6; t > 1e-6; t *= 0.95)
	{
		int a = rand() % n, b = rand() % n;
		double x = calc();
		swap(w[a], w[b]);
		double y = calc();
		double delta = y - x;
		if (exp(-delta / t) < (double)rand() / RAND_MAX)
			swap(w[a], w[b]);
	}
}

int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> w[i];

	for (int i = 0; i < 100; i ++ ) simulate_anneal();
	printf("%.2lf\n", ans);

	return 0;
}

爬山法：

爬山算法每次在当前找到的最优方案 \(x\) 附近寻找一个新方案。如果这个新的解 \(x'\) 更优，那么转移到 \(x'\)，否则不变。

只能解决单峰函数问题，如果解决单峰问题可能会陷入局部最优解。

  • P4035 [JSOI2008] 球形空间产生器

    题目大意： 给你 \(n\) 个点坐标，要你求出圆心

    题解： 随机化，可以随机一个点当圆心，然后和每个点比较，求出平均距离 \(r\)，如果到这个点的距离大于 \(r\)，说明离这个点远了，就给圆心施加一个向这个点的力；若小于 \(r\) ，说明近了，就施加一个远离这个点的力。所有点比较完后，把假设的圆心按合力方向移动一个距离，距离和当前温度有关。时间越久，温度越低

    #include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 15;

int n;
double d[N][N];
double ans[N], dist[N], delta[N];

void calc()
{
	double avg = 0;
	for (int i = 0; i < n + 1; i ++ )
	{
		dist[i] = delta[i] = 0;
		for (int j = 0; j < n; j ++ )
			dist[i] += (d[i][j] - ans[j]) * (d[i][j] - ans[j]);
		dist[i] = sqrt(dist[i]);
		avg += dist[i] / (n + 1);
	}
	for (int i = 0; i < n + 1; i ++ )
		for (int j = 0; j < n; j ++ )
			delta[j] += (dist[i] - avg) * (d[i][j] - ans[j]) / avg;
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n + 1; i ++ )
		for (int j = 0; j < n; j ++ )
		{
			scanf("%lf", &d[i][j]);
			ans[j] += d[i][j] / (n + 1);
		}

	for (double t = 1e4; t > 1e-6; t *= 0.99995)
	{
		calc();
		for (int i = 0; i < n; i ++ )
			ans[i] += delta[i] * t;
	}
	for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%.3lf ", abs(ans[i]));

	return 0;
}

很容易想到的是，为了尽可能获取优秀的答案，我们可以多次爬山。方法有修改初始状态/修改降温参数/修改初始温度等，然后开一个全局最优解记录答案。每次爬山结束之后，更新全局最优解。

posted @ 2024-12-02 20:46  Star_F  阅读(118)  评论(0)    收藏  举报