配对模型

• 问题：n个人、n顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.

• 记 $A_i = $ “第 \(i\) 个人拿对自己的帽子”，\(i = 1,...,n.\)

• 求 \(P(A_1 \bigcup A_2 \bigcup ...... \bigcup A_n)\), 不可用对立事件.

• 用加法公式：

  \[P(\bigcup_{i = 1}^{n} A_i ) = \sum_{i=1}^n P(A_i) - \sum_{}^{} P(A_iA_j) + \sum_{}^{} P(A_iA_jA_k) + ...... + {(-1)}^{n - 1}P(A_1A_2......A_n) \]

  上面的式子，从第二项开始，系数都是 \(C_{n}^{m}\), 其中，m是项数。

  易知：
  \(P(A_i) = \frac{1}{n}, P(A_iA_j) = \frac{1}{n(n - 1)}\)
  \(P(A_iA_jA_k) = \frac{1}{n(n - 1)(n - 2)}, ......\)
  \(P(A_1A_2......A_n) = \frac{1}{n!}\)

  \(\Rightarrow\)
  \(P(A_1 \bigcup A_2 \bigcup ...... A_n) = n\frac{1}{n} - C_{n}^{2}\frac{1}{n(n - 1)} + ...... + (-1)^{n-1}\frac{1}{n!}\)
  即：
  \(1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \frac{1}{4!} ...... + (-1)^{n - 1}\frac{1}{n!}\)
  \(\Rightarrow\)
  \(1 - e^{-1}\)

  关于这个解法的一点解释：

  1. 因为是等可能的，所以，至少有一人拿对帽子，就要从1遍历到n，当有m个人拿对帽子的时候，系数是 \(C_{n}^{m}\) 也就很容易理解了。
  2. 关于最后的式子的极限求和：
     根据泰勒定理，\(f(x) = e^x\) 在 \(x = 0\) 有展开式：
     \[e^x = \sum_{0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} (|x| < \infty) \]