玩具装箱

https://loj.ac/problem/10188

题目描述

  有\(N\)个玩具，每个玩具有一定的长度，在容器中玩具编号是连续的，装下第\(i\)到第\(j\)个玩具的容器长度为\(j-i+\sum_{k=i}^j c_k\)，长度为\(x\)的容器代价为\((x-L)^2\)，求最小代价。

思路

  我们令装下前\(i\)个玩具的长度为\(sum[i]\),可以直接列出状态转移方程\(f[i]=min\{f[j]+(sum[i]-sum[j]-L)^2\}\)

  化简后可得

\[f[j]+sum[j]^2=2*sum[i]*sum[j]-sum[i]^2-L^2-sum[i]^2+2*sum[i]*L+f[i] \]

  我们对这个等式维护下凸壳即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=5e4+10;

ll read()
{
	ll res=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return res*w;
}

ll sum[N],s[N],q[N],f[N];
ll sqr(ll x)
{
	return x*x;
}
int main()
{
	ll n=read(),l=read();
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		sum[i]=sum[i-1]+read(),s[i]=sum[i]+i;
	ll head=0,tail=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	{
		while(head<tail&&(f[q[head+1]]+sqr(s[q[head+1]])-f[q[head]]-sqr(s[q[head]]))
			<=2*(s[i]-l)*(s[q[head+1]]-s[q[head]]))head++;
//		cout<<i<<' '<<s[i]-s[q[head]]<<endl;
		f[i]=f[q[head]]+sqr(s[i]-s[q[head]]-l-1);
		while(head<tail&&(f[q[tail]]+sqr(s[q[tail]])-f[q[tail-1]]-sqr(s[q[tail-1]]))*(s[i]-s[q[tail]])
			>=(f[i]+sqr(s[i])-f[q[tail]]-sqr(s[q[tail]]))*(s[q[tail]]-s[q[tail-1]]))tail--;
		q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld\n",f[n]);
}