中国剩余定理

一、定义

  中国剩余定理可以用来求解一些线性同余方程组：

\[\begin{cases} x\equiv a_1\quad (mod \quad m_1) \\ x\equiv a_2\quad (mod \quad m_2) \\ ...\\ x\equiv a_n\quad (mod \quad m_n) \\ \end{cases} \]

  而前提条件是\(m_1，m_2，...，m_n\)之间两两互质。

二、求解方法

  我们设\(M=\prod_{i=1}^{n}{m_i}\)。那么我们设\(Mi=M/mi\)，ti是线性同余方程\(M_it_i≡1(mod \quad m_i)\)的一个解

定理：对于线性同余方程组，解为\(x=\prod_{i=1}^{n}{a_iM_it_i}\)，并且在模\(M\)意义下有唯一解。

证明：\(∵\)Mi是除mi以为所有模数的倍数
   \(∴\)对于\(\forall k≠i\)，都有\(a_iM_it_i≡0(mod \quad m_k)\)
  又\(∵a_iM_it_i≡a_i(mod \quad m_i)\)
  \(∴\)代入\(x\)，原方程组成立，并且在模M意义下唯一。

  因此我们只要用\(exgcd\)求出每个方程的解，在求和起来即可。

代码

void exgcd(int a,int b,int &g,int &x,int &y)
{
    if(!b)g=a,x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,g,y,x),y-=a/b*x;
}
void IntChina(int a[],int m[],int n)
{
    int M=1,res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        M*=m[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int Mi=M/m[i],g,x,y;
        exgcd(Mi,m[i],g,x,y);
        res=(res+x*a[i]*Mi)%M;
    }
    return (res+M)%M;
}

例1：Biorhythms

  人的体力、情感和智力周期为23、28和33天，给出三个日期表示体力、情感和智力为峰值的日期，再给出一个初始日期，求从这一天开始，再过多少天三个峰值同时出现。

  实际上就是让我们求解线性同余方程组的解:

\[\begin{cases} x \equiv a_1 \quad (mod \quad 23) \\ x \equiv a_2 \quad (mod \quad 28) \\ x \equiv a_3 \quad (mod \quad 33) \end{cases} \]

  对于这个方程组，我们求出的解即为下一次三个都出现峰值得日期，减去初始日期即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll m[4]={0,23,28,33};

void exgcd(ll a,ll b,ll &g,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)g=a,x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,g,y,x),y-=a/b*x;
}
int main()
{
    ll a[4],d,cas=0;
    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld",&a[1],&a[2],&a[3],&d))
    {
        if(a[1]==-1&&a[2]==-1&&a[3]==-1&&d==-1)break ;
        ll M=21252,ans=0;
        for(ll i=1;i<=3;i++)
        {
            ll mi=M/m[i];
            ll g,x,y;
            exgcd(mi,m[i],g,x,y);
            ans=(ans+mi*x*a[i])%M;
        }
        ans=(ans-d+M)%M;
        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",++cas,ans==0?M:ans);
    }
}