B+树和B-树回顾
B树：二叉搜索树
性质：
1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；
2.所有结点存储一个关键字；
3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；
//往二叉查找树中插入结点
//插入的话，可能要改变根结点的地址，所以传的是二级指针
void inseart(PNode * root,KeyType key)
{
//初始化插入结点
PNode p=(PNode)malloc(sizeof(Node));
p->key=key;
p->left=p->right=p->parent=NULL;
//空树时，直接作为根结点
if((*root)==NULL){
*root=p;
return;
}
//插入到当前结点（*root）的左孩子
if((*root)->left == NULL && (*root)->key > key){
p->parent=(*root);
(*root)->left=p;
return;
}
//插入到当前结点（*root）的右孩子
if((*root)->right == NULL && (*root)->key < key){
p->parent=(*root);
(*root)->right=p;
return;
}
if((*root)->key > key)
inseart(&(*root)->left,key);
else if((*root)->key < key)
inseart(&(*root)->right,key);
else
return;
}
//查找元素,找到返回关键字的结点指针，没找到返回NULL
PNode search(PNode root,KeyType key)
{
if(root == NULL)
return NULL;
if(key > root->key) //查找右子树
return search(root->right,key);
else if(key < root->key) //查找左子树
return search(root->left,key);
else
return root;
}
//查找最小关键字,空树时返回NULL
PNode searchMin(PNode root)
{
if(root == NULL)
return NULL;
if(root->left == NULL)
return root;
else //一直往左孩子找，直到没有左孩子的结点
return searchMin(root->left);
}
//查找最大关键字,空树时返回NULL
PNode searchMax(PNode root)
{
if(root == NULL)
return NULL;
if(root->right == NULL)
return root;
else //一直往右孩子找，直到没有右孩子的结点
return searchMax(root->right);
}
//查找某个结点的前驱
PNode searchPredecessor(PNode p)
{
//空树
if(p==NULL)
return p;
//有左子树、左子树中最大的那个
if(p->left)
return searchMax(p->left);
//无左子树,查找某个结点的右子树遍历完了
else{
if(p->parent == NULL)
return NULL;
//向上寻找前驱
while(p){
if(p->parent->right == p)
break;
p=p->parent;
}
return p->parent;
}
}
//查找某个结点的后继
PNode searchSuccessor(PNode p)
{
//空树
if(p==NULL)
return p;
//有右子树、右子树中最小的那个
if(p->right)
return searchMin(p->right);
//无右子树,查找某个结点的左子树遍历完了
else{
if(p->parent == NULL)
return NULL;
//向上寻找后继
while(p){
if(p->parent->left == p)
break;
p=p->parent;
}
return p->parent;
}
}
//根据关键字删除某个结点,删除成功返回1,否则返回0
//如果把根结点删掉，那么要改变根结点的地址，所以传二级指针
int deleteNode(PNode* root,KeyType key)
{
PNode q;
//查找到要删除的结点
PNode p=search(*root,key);
KeyType temp; //暂存后继结点的值
//没查到此关键字
if(!p)
return 0;
//1.被删结点是叶子结点，直接删除
if(p->left == NULL && p->right == NULL){
//只有一个元素，删完之后变成一颗空树
if(p->parent == NULL){
free(p);
(*root)=NULL;
}else{
//删除的结点是父节点的左孩子
if(p->parent->left == p)
p->parent->left=NULL;
else //删除的结点是父节点的右孩子
p->parent->right=NULL;
free(p);
}
}
//2.被删结点只有左子树
else if(p->left && !(p->right)){
p->left->parent=p->parent;
//如果删除是父结点，要改变父节点指针
if(p->parent == NULL)
*root=p->left;
//删除的结点是父节点的左孩子
else if(p->parent->left == p)
p->parent->left=p->left;
else //删除的结点是父节点的右孩子
p->parent->right=p->left;
free(p);
}
//3.被删结点只有右孩子
else if(p->right && !(p->left)){
p->right->parent=p->parent;
//如果删除是父结点，要改变父节点指针
if(p->parent == NULL)
*root=p->right;
//删除的结点是父节点的左孩子
else if(p->parent->left == p)
p->parent->left=p->right;
else //删除的结点是父节点的右孩子
p->parent->right=p->right;
free(p);
}
//4.被删除的结点既有左孩子，又有右孩子
//该结点的后继结点肯定无左子树(参考上面查找后继结点函数)
//删掉后继结点,后继结点的值代替该结点
else{
//找到要删除结点的后继
q=searchSuccessor(p);
temp=q->key;
//删除后继结点
deleteNode(root,q->key);
p->key=temp;
}
return 1;
}
//创建一棵二叉查找树
void create(PNode* root,KeyType *keyArray,int length)
{
int i;
//逐个结点插入二叉树中
for(i=0;i<length;i++)
inseart(root,keyArray[i]);
}
B-树：
1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
2.根结点的儿子数为[2, M]；
3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；
4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）
5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
8.所有叶子结点位于同一层；
typedef int KeyType ;
#define m 5
typedef struct Node{
int keynum;
struct Node *parent;
KeyType key[m+1];
struct Node *ptr[m+1];
Record *recptr[m+1];
}NodeType;
typedef struct{
NodeType *pt;
int i;
int tag;
}Result;
Result SearchBTree(NodeType *t,KeyType kx) { p=t;q=NULL;found=FALSE;i=0; while(p&&!found) { n=p->keynum;i=Search(p,kx); if(i>0&&p->key[i]= =kx) found=TRUE; else {q=p;p=p->ptr[i];} } if(found) return (p,i,1); else return (q,i,0); }
B- 树查找算法分析
从查找算法中可以看出， 在B- 树中进行查找包含两种基本操作:
( 1) 在B- 树中查找结点；
( 2) 在结点中查找关键字。
由于B- 树通常存储在磁盘上， 则前一查找操作是在磁盘上进行的， 而后一查找操作是在内存中进行的， 即在磁盘上找到指针p 所指结点后， 先将结点中的信息读入内存， 然后再利用顺序查找或折半查找查询等于K 的关键字。显然， 在磁盘上进行一次查找比在内存中进行一次查找的时间消耗多得多.
因此， 在磁盘上进行查找的次数、即待查找关键字所在结点在B- 树上的层次树， 是决定B树查找效率的首要因素
那么，对含有n 个关键码的m 阶B-树，最坏情况下达到多深呢？可按二叉平衡树进行类似分析。首先，讨论m 阶B-数各层上的最少结点数。
由B树定义：B树包含n个关键字。因此有n+1个树叶都在第J+1 层。
1）第一层为根，至少一个结点，根至少有两个孩子，因此在第二层至少有两个结点。
2）除根和树叶外，其它结点至少有[m/2]个孩子,因此第三层至少有2*[m/2]个结点,在第四层至少有2*[m/2]2 个结点…
3）那么在第J+1层至少有2*[m/2]J-1个结点,而J+1层的结点为叶子结点,于是叶子结点的个数n+1。有：
也就是说在n个关键字的B树查找，从根节点到关键字所在的节点所涉及的节点数不超过：
B+树
B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：
1.其定义基本与B-树同，除了：
2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树
（B-树是开区间）；
5.为所有叶子结点增加一个链指针；
6.所有关键字都在叶子结点出现；
B+的特性：
1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好
是有序的；
2.不可能在非叶子结点命中；
3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储
（关键字）数据的数据层；
4.更适合文件索引系统；
相关详细讲解：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4e0c21cc01010itp.html
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