Manacher(马拉车)————O(n)回文子串

Manacher

一、背景

1975年,Manacher发明了Manacher算法(中文名:马拉车算法),是一个可以在O(n)的复杂度中返回字符串s中最长回文子串长度的算法,十分巧妙。

让我们举个栗子,栗子:

1.字符串:abbababa        最长回文子串:5(abbababa

2.字符串:abcbbabbc      最长回文子串:7(abcbbabbc

3.字符串:abccbaba        最长回文子串:6(abccbaba)

传统方法是,遍历每个字符,以该字符为中心向两边查找。时间复杂度为O(n^2),效率很差;

而这个神奇的Manacher算法将复杂度提升到了O(n)。

 

来一起瞅一瞅它是如何工作的吧。

二、算法过程分析

回文分为奇回文(ababa)和偶回文(abba),这里比较难以处理,我们使用一个(sao)(cao)(zuo)很重要)。我们将字符串首尾和每个字符间插入一个字符(注意:这个自符在串中并未出现)例如:'#'.

栗子!栗子!s='abbadcacda'先转化成s_new='$#a#b#b#a#d#c#a#c#d#a#\0'('$'与'\0',是边界,下面的代码中可以看到)

这样原串中的偶回文(abba)与奇回文(adcacda),变成了(#a#d#d#a#)与(#a#d#c#a#c#d#a#)两个奇回文

定义数组p[],用p[i]表示以i为中心的最长回文半径。栗子在这里:

 

那,p[i]该如何求呢?很显然,p[i]-1正好就是原字符中的最长回文串长度了。

让我们一起找到正解。

请看下图:

定义两个变量mx和id。mx就是以id为中心的最长回文右边界,也就是mx=id+p[id],随后我们需要mx做出它的最大贡献。

假设我们在求p[i](以i为中心的最长回文半径),如果i<mx(如上图),那么我们就用mx和j来更新到我们已知的可以更新的最大长度,代码如下:

if(i<mx)  
    p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);

2*id-i是i关于id的对称点(上图j)(证明:i-id=id-j),而p[j]表示以j为中心的最长回文半径,这样我们就可以利用p[j]和mx加快速度了。

为什么要用p[j]和mx-i取min来更新,什么鬼?

淡定,淡定。我们想一下,p[j](以j为中心的最长回文半径)是已经知道了(因为是从前面扫过来的),若是p[j]>mx-i,我们是可以知道以j为中心,以mx的对称点到j的距离为半径形成的回文字符串是肯定存在的,并且id的左边直到mx的对称点与id的右边 直到mx是一一对应的,不难理解mx是i目前可以更新到的最大回文半径;若p[j]<mx-i,证明j的回文半径不到mx的对称点到j的距离,再次通过(id的左边直到mx的对称点与id的右边 直到mx是一一对应的),不难想到p[i]=p[j]。

 取完min就是最大的回文半径吗?

显然不是,接下来的暴力往后扫就好了(学oi的都有暴力倾向)。

三、代码

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

char s[11000002];
char s_new[21000002];//存添加字符后的字符串 
int p[21000002];

int Init() {//形成新的字符串 
    int len=strlen(s);//len是输入字符串的长度
    s_new[0]='$';//处理边界,防止越界 
    s_new[1]='#';
    int j=2; 
    for(int i=0;i<len;i++) {
        s_new[j++]=s[i];
        s_new[j++]='#';
    } 
    s_new[j]='\0';//处理边界,防止越界(容易忘记) 
    return j;// 返回s_new的长度 
}

int Manacher() {//返回最长回文串 
    int len=Init();//取得新字符串的长度, 完成向s_new的转换
    int max_len=-1;//最长回文长度
    int id;
    int mx=0;
    for(int i=1;i<=len;i++) {
        if(i<mx)
            p[i]=min(p[2*id-i],mx-i);//上面图片就是这里的讲解 
        else p[i]=1;
        while(s_new[i-p[i]]==s_new[i+p[i]])//不需边界判断,因为左有'$',右有'\0'标记;
            p[i]++;//mx对此回文中点的贡献已经结束,现在是正常寻找扩大半径
        if(mx<i+p[i]) {//每走移动一个回文中点,都要和mx比较,使mx是最大,提高p[i]=min(p[2*id-i],mx-i)效率 
            id=i;//更新id 
            mx=i+p[i];//更新mx 
        }
        max_len=max(max_len,p[i]-1); 
    } 
    return max_len; 
}
 
int main()
{
    scanf("%s",&s);
    printf("%d",Manacher());
    return 0;
}

 四、复杂度

 

完结撒花(复杂度不会证明呀,因为我是蒟蒻)

 

posted @ 2019-07-10 20:04  沉~杉  阅读(11238)  评论(8编辑  收藏  举报
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