流体力学复习

参考资料
《流体力学（上册）》（第三版）丁祖荣
《流体力学（下册）》（第三版）丁祖荣

上半学期

连续介质假设，流体易变形性，流体粘性
流体的其他物理性质，流体模型分类
描述流体运动的两种方法，速度场，流体运动几何描述，流体质点的随体导数
一点邻域内相对运动分析
流动分类，常用流动分析方法
微分形式质量守恒方程，作用在流体元上的力
微分形式动量方程，N-S方程，边界条件与初始条件，压强场
流体系统随体导数，积分形式的守恒方程，伯努利方程
流体积分方程的应用
量纲分析及其应用
相似原理及其应

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下半学期

静力学基础
液体对曲壁的总压力，浮力
无粘流一般概念，速度势与流函数
平面势流基本解
绕圆柱的平面势流
管道入口段流动，平行板间的流动，圆管层流及其沿程损失
近壁湍流，圆管湍流及其沿程损失，莫迪图
局部损失，非圆形管中流动，管路系统
边界层概念和简化方程，平板层流边界层精确解，特征厚度定义，边界层分离
边界层动量积分方程，平板边界层近似计算

流体及其物理性质

流体质点

流体团分子速度的统计平均值曲线

流体的宏观特性：只要分子数足够大，统计平均值在时间上是确定的，在空间上是连续的

流体质点的假设建立

1. 流体质点无线尺度，只作平移运动
2. 流体质点不作随机热运动，只在外力作用下作宏观运动
3. 将以流体质点为中心的周围临界体积\(\delta \tau^*\)范围内流体分子相关特性的统计平均值作为流体质点的物理量值

流体元：大量流体质点构成的微小单元（宏观无限小，微观无限大）

连续介质假设

1. 流体是由连续分布的流体质点组成的介质
2. 可用连续函数\(B(x,y,z,t)\)描述流体的空间分布与时间变化
3. 可由物理学基本规律建立流体运动的微分/积分方程并求解

临界体积\(\delta \tau^*\)如何去确定？

假设某一物理性质\(f\)和粒子数\(N\)

根据\(\frac{\delta f}{f} \thicksim \frac{\delta N}{N}\)，而\(\delta N \thicksim N^{\frac{1}{2}}\)，由此我们得到

\[\frac{\delta f}{f} \thicksim N^{\frac{1}{2}} \]

当粒子数在1000时，物理性质的误差介于\(1% \thicksim 10 %\)，在可允许的误差范围内，即线尺度上为10倍的粒子间距离

流体的易变形性

流体不能抵抗任何剪切力作用下剪切变形趋势

流体的黏性

牛顿《自然哲学的数学原理》：“流体的两部分由于缺乏润滑而引起的组里（若其他情况一样），同流体两部分彼此分开的速度成正比”“不过，流体的阻力正比于速度，与其说是物理实际，不如说是数学假设”

即切应力正比于切变角速度

\[\tau \propto \dot \gamma = \frac{\gamma}{\delta t} =\frac{\delta u \delta t}{\delta y \delta t} = \frac{\delta u}{\delta y} \]

\[\tau = \frac{\delta u}{\delta y} \]

这个比例系数记为黏度\(\mu\)

带动/阻止临近流体的特性

液体：分子内聚力，温度升高，分子热运动加剧，大于分子内聚力，表现出黏性减小
气体：分子的动量交换，温度升高，分子动量增加，交换频率增加，表现出黏性增加

牛顿平板实验

\[\tau_{yx}=\mu \dot \gamma =\mu \frac{\partial u}{\partial y} \]

适用于牛顿流体

非牛顿流体 * （流变学）

1. \(\tau = \mu \dot \gamma ^n\)，则广义粘度系数为\(\mu _{eff} = \mu \dot \gamma ^{n-1}\)。牛顿流体n=1；流动增稠n>1；流动稀化n<1
2. 粘弹性\(\theta \dot \tau + \tau = \mu \dot \gamma\)，阻力表现为固体弹性+流体黏性

其他物理性质

流体的可压缩性

密度：\(\rho =\frac{dm}{d\tau}\)
重度：\(\rho g\)
相对密度：\(SG=\frac{\rho}{\rho_{H_2O(4 ℃)}}\)

体积模量：\(K=-\frac{dp}{d\tau / \tau}=\frac{dp}{d\rho / \rho}\)
声速：\(c=\sqrt{\frac{dp}{d\rho}}=\sqrt{\frac{K}{\rho}}\)

状态方程：\(p = R \rho T\)

表面张力

非球形曲面，主曲率半径分别为\(R_1\)和\(R_2\)，压强增量的表达式

\[\Delta p =\sigma (\frac{1}{R_1}+ \frac{1}{R_2}) \]

固液表面现象

流体模型的分类

1. 无黏性流体与黏性流体
2. 可压缩流体与不可压缩流体
3. 均质流体：密度处处相等的流体
4. 正压流体：密度只是压强的函数的流体：均质流体、等熵流体、恒温流体、不可压缩流体
5. 斜压流体：密度除了与压强有关外，还与温度等参数有关的流体
6. 完全气体：符合状态方程的气体

流体分析基础

描述流体运动的方法

1. 拉格朗日法（随体法）

\[质点轨迹：\mathbf{r}=\mathbf{r}(a,b,c,t) \]

分别描述有限质点的轨迹、表达式复杂、不能直接反映参数的空间分布、不适合描述流体元的运动变形特性、拉格朗日观点是重要的

2. 欧拉法（当地法）

\[参数分布：\mathbf{B}=\mathbf{B}(a,b,c,t) \]

同时描述所有质点的瞬时参数、表达式简单、直接反映参数的空间分布、适合描述流体元的运动变形特性、流体力学最常用的解析方法

速度场

流动空间各坐标点上的速度矢量构成的场

在直角坐标系中表示：

\[\mathbf{v}(x,y,z,t)=u(x,y,z,t)\mathbf{i}+v(x,y,z,t)\mathbf{j}+w(x,y,z,t)\mathbf{k} \]

流量和平均速度

流量

\[流量Q=\int_A (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n})dA \]

\[平均速度V=\frac{Q}{A} \]

一维、二维、三维的流动

三维流动: 速度场必须表示为三个空间坐标的函数
二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数
一维流动: 速度场可表示为一个空间坐标的函数

直圆管一维流动修正因子

用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子\(\alpha\)和动量修正因子\(beta\)，分别定义为

\[\int_A (\frac{1}{2} u^2)d \dot{m} =\alpha (\frac{1}{2} V^2)\dot{m} \quad \int_A u d \dot{m}=\beta V \dot{m} \]

流动分类

流体的几何描述

迹线：流体质点的运动轨迹，即用拉格朗日坐标表示的流体质点的径矢方程

迹线

\[\mathbf{v}(x,y,z,t)=\frac{d \mathbf{r}}{dt} \]

\[或 \frac{dx}{u(x,y,z,t)} =\frac{dy}{v(x,y,z,t)} =\frac{dz}{w(x,y,z,t)} =dt \]

流线：某一时刻流场中各点的速度矢量方向的假想曲线，定义为任意一点的切线方向与该点的速度矢量方向一致的瞬时矢量切线

流线

\[d \mathbf{r} \times \mathbf{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ dx & dy & dz\\ u & v & w\end{vmatrix} \]

\[或 \frac{dx}{u(x,y,z,t)} =\frac{dy}{v(x,y,z,t)} =\frac{dz}{w(x,y,z,t)} \]

脉线：在某一瞬时将在某一时段内相继通过某固定点的流体质点连成的线

在流场固定点连续释放染色剂（水中）或烟（空气中），用照相机拍摄下某瞬时的从固定点出发的染色剂或烟的脉线，也称为染色线、烟线或条纹线

在定常流中脉线的形状不变，与流线、迹线重合，因此常用它来代表流线；在不定常流中不重合

流体线：在流场中某时刻标记的一串首尾相接的流体质点的连线，称为该时刻的流体线

由于这一串流体质点带有同一时刻的标记，每个质点到达下一时刻流体线所在位置的时间相同，因此又称为时间线

流管：在流场中由通过任意非流线的封闭曲线上每一点的流线所围成的管状面称为流管

流束 流管内的流体，缓变流流束：流线平行或接近平行，微元流束：有限截面无限小的流束

总流微元流束的总和，在有效截面上取平均值，按一维流动处理

流体质点的随体导数

\[\nabla = \frac{\partial }{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial }{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial }{\partial z} \mathbf{k} \quad \Delta = \nabla^2 = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2} \]

流体质点（随体）导数是质点物理量在运动中随时间的变化率。

流体的随体导数

现在我们有物理量\(B(x,y,z,t)\)，其中\(x,y,z\)均为时间的函数，则其对时间的导数为

\[\frac{dB}{dt}=\frac{\partial B}{\partial t} + \frac{\partial B}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial B}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial B}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t} =(\frac{\partial}{\partial t} + u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y} + w \frac{\partial}{\partial z})B \]

\[记算子符号 \frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t} + u \frac{\partial}{\partial x} + v \frac{\partial}{\partial y} + w \frac{\partial}{\partial z}=(\frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla) \]

一点邻域内的流动特征（以平面流动为例）

亥姆霍兹速度分解

我们取\(x\)方向

\[u(M)=u(M_0) + \frac{\partial u}{\partial x} \delta x + \frac{\partial v}{\partial y} \delta y \]

亥姆霍兹做了一点变化，他说：

\[v(M)=v(M_0) + \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y} -\frac{\partial v}{\partial x} )dy + \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} )dy \]

共有四项求和，其中每一项分别是

1. 质点\(M_0\)的平移速度
2. \(M\)点绕\(M_0\)点旋转引起的相对速度
3. 两点间线元线应变速率引起的相对速度
4. 两点间面积元角变形速率引起的相对速度

线应变速率

\[\epsilon _{xx}=\frac{\frac{\partial u}{\partial x} \delta x \delta t}{\delta x \delta t} = \frac{\partial u}{\partial x} \]

\[面积变化率：\epsilon _{xx}+\epsilon _{yy} \]

\[体积变化率：\epsilon _{xx}+\epsilon _{yy}+\epsilon _{zz} = \nabla \cdot \mathbf{v} \]

角变形速率

\[\dot \alpha =\frac{\partial u}{\partial y} \quad \dot \beta = \frac{\partial v}{\partial x} \]

角变形速率为两个角度变化率的平均值

\[\dot \gamma_{xy}=\frac{1}{2} (\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}) \]

规定逆时针方向为正可得旋转角速度

\[\omega _{z}=\frac{1}{2} (\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} ) \]

旋转角速度更一般的定义：在以该点为中心，以线元\(a\)为半径的圆周线\(c\)上，速度切向分量之平均值与半径\(a\)之比的极限值

\[\omega _{z} = \lim_{a \to 0} \frac{1}{a} \frac{1}{2 \pi a} \oint_{c} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{r} = \frac{1}{2} (\nabla \times \mathbf{v} ) \cdot \mathbf{n} \]

涡度：

\[\omega = \nabla \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u & v & w\end{vmatrix} \]

应变率张量：

\[E = \frac{1}{2} (\nabla u + \nabla u^T) \]

涡度张量

\[\Omega = \frac{1}{2} (\nabla u - \nabla u^T) \]

其中

\[\nabla \mathbf{u} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix} \]

对于不可压的牛顿流体有：\(\mathbf{\tau} = 2 \mu E\)

流动分类

层流与湍流

经典实验
雷诺实验 (1883)——流场显示
哈根实验 (1839)——阻力测量
林格伦实验 (1957)——热线测速

雷诺数：\(Re= \frac{\rho V d}{\mu}\)

内流与外流

按流场是否被固体边界包围分类

内流：管道流（不可压缩流体）、喷管流（可压缩流体）、明渠流、流体机械
外流：粘性边界层、外部势流

微分形式质量守恒方程

流体运动的连续性原理：不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量

微分形式的连续性方程

微分形式的连续性方程

则沿着\(x\)方向净流出控制体的流体质量为：$\frac{\partial (\rho u)}{\partial x} \delta x \cdot \delta y\delta z $

同理可以得到\(y\)方向和\(z\)方向的净流出控制体的流体质量，根据质量守恒定律可以得到：

\[(\frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial z})\delta x \delta y\delta z =- \frac{\partial \rho }{\partial t} \delta x \delta y \delta z \]

\[即 \frac{\partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v})=0 \]

根据散度公式：\(\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})=\mathbf{v} \cdot \nabla \rho + \rho \cdot \nabla \mathbf{v}\)，改写方程为：

\[\frac{D \rho }{D t} + \rho \cdot \nabla \mathbf{v} = 0 \]

不可压缩流体：\(\rho\)为常数，根据上面的式子可以得到：\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\)

值得一提的在柱坐标系中：$ \frac{1}{r} \frac{\partial (rv_r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial v_{\theta}}{\partial \theta } + \frac{\partial v_z}{\partial z} = 0 $

可压缩流体定常流动

对于定常流动，\(\frac{\partial }{\partial r} = 0\)，即\(\nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0\)

作用在流体元上的力

根据牛顿第二定律\(F=ma\)

\[RHS = \rho \delta x \delta y \delta z \frac{D \mathbf{u}}{Dt} \]

\[LHS = \delta F_s (表面力) + \delta F_b (体积力) \]

体积力

\[\delta F_b = \rho \delta x \delta y \delta z f_b = \delta x \delta y \delta z (- \nabla \pi ) \]

其中\(\pi\)为场力的势能函数

表面力

x方向表面力

\[dF_{S x}=(\frac{\partial T_{x x}}{\partial x} dx) dy dz+(\frac{\partial T_{y x}}{\partial y} dy) dx dz+(\frac{\partial T_{z x}}{\partial z} dz) dx dy \]

表面力

\[应力张量 T=\begin{pmatrix} T_{xx} & T_{xy} & T_{xz} \\ T_{yx} & T_{yy} & T_{yz} \\ T_{zx} & T_{zy} & T_{zz} \end{pmatrix} \]

因此，则表面力可以表示为：

\[\delta F_s = (\nabla \cdot T) \delta x \delta y \delta z = (-p \mathbf{I} + \mathbf{\tau} )\delta x \delta y \delta z \]

$\delta x \delta y \delta z \(为线度+面积产生的类体积力 其中\)-p \mathbf{I}\(为静压作用，\)\mathbf{\tau}$为偏应力

纳维－斯托克斯方程（N-S方程）

根据上面的式子可以带入牛顿第二定律

\[\rho \frac{D \mathbf{u}}{Dt} = \rho \mathbf{f_b} - \nabla \mathbf{p} + \nabla \mathbf{\tau} \]

根据牛顿平板实验

\[\tau_{yx} = \mu \frac{\partial u}{\partial y} \to T = \mu \nabla mathbf{u} \]

去除流体的旋转，且

\[mathbf{\tau} = 2 \mu E \quad E = \frac{1}{2}(\nabla mathbf{u}) + \nabla mathbf{u}^T) \]

可以推出N-S方程：

\[\rho (\frac{\partial u}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} ) = \rho \mathbf{f_b} - \nabla \mathbf{p} + \mu \nabla ^2 \mathbf{u} \]

边界条件与初始条件

边界条件：

1. 固体壁面：固壁上流体的速度、温度与固壁一致
2. 特殊的流体边界：对内流流场，给出出入口截面的速度、压强和温度条件；对外流流场，给出无穷远处的速度、压强和温度条件
3. 两种流体交界面：界面两侧的黏性流体在界面上的速度、压强、切应力、温度应连续

初始条件：定常流时无初始条件；不定常流时给出某时刻的参数值

积分形式的基本方程

流体系统的随体导数

雷诺运输公式/运输公式：

\[\frac{D N_{sys}}{D t} = \frac{\partial }{\partial t}\int_{CV} \eta d \tau + \int_{CS} \eta (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} ) dA \]

$N_{sys}$：系统广延量，如系统质量、动量、动量矩、能量等；$\eta$：系统内质量、动量、动量矩、能量等物理量在$t$时刻的空间分布函数
$\frac{D N_{sys}}{D t}$：控制体形式的系统导数，系统广延量对时间的总变化率
$\frac{\partial }{\partial t}\int_{CV} \eta d \tau$：系统广延量的当地变化率，反映了流场的不定常性影响
$\int_{CS} \eta (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} ) dA$：系统广延量的迁移变化率，反映了流场的不均匀性影响

积分形式的连续性方程

固定的控制体

\(N_{sys}\)为系统的质量，\(\eta\)为密度函数，根据运输公式、质量守恒定律可以得到质量守恒方程：

\[\frac{\partial }{\partial t}\int_{CV} \rho d \tau + \int_{CS} \rho (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} ) dA =0 \]

对于不可压缩流体和可压缩流体定常流动都满足：

\[\int_{CS} \rho (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} ) dA =0 \]

即：

\[\sum (\rho V A)_{out} = \sum (\rho V A)_{in} \]

运动的控制体

对于可压缩流体定常（运输方城第一项为0）流动，仍满足上式

伯努利方程及其应用

在无黏性重力流体的流场中

沿流线的伯努利方程

可得：

\[-g \cos \theta -\frac{1}{p} \frac{\partial p}{\partial s} = \frac{D v}{Dt} = \frac{\partial v}{\partial t} + v \frac{\partial v}{\partial s} \]

根据

\[\cos \theta = \frac{\partial z}{\partial s} \]

再沿着流线积分，乘以\(ds\)并移项，可得

\[\int \frac{\partial v}{\partial t}ds+\frac{v^2}{2}+gz+\int \frac{dp}{\rho} = C \]

对于不可压缩流体的定常流动，可以进一步简化为：

\[\frac{v^2}{2}+gz+\frac{p}{\rho} = C \]

沿流线发现方向的速度压强关系式

沿流线法线方向的速度压强关系式

\[\rho g \delta A \delta n \cos \theta - \frac{\partial p}{\partial n} \delta n \delta A = -\rho \delta A \delta n \frac{v^2}{R} \]

考虑到\(\cos \theta = - \frac{dz}{dn}\)得到

\[g\frac{dz}{dn}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n}=\frac{v^2}{R} \]

当满足下列条件时候：

1. 无黏性流体
2. 不可压缩流体
3. 定常流动
4. 沿流线法线方向（背离曲率中心方向为正）

沿流线法线方向的伯努利方程

\[- \int \frac{v^2}{R} dn +gz + \frac{p}{\rho} = C \]

沿总流的伯努利方程

将伯努利方程沿总流按质量流量积分：

\[\int _A (\frac{v^2}{2}+gz+\frac{p}{\rho}) \rho dQ = C \]

若截面A符合缓变流条件，并用总流有效截面上的平均速度\(V\)代替不均匀的速度分布，引入动能修正因子\(\alpha\)，有下列式子

\[\frac{\alpha V^2}{2}+gz+\frac{p}{\rho} =C \]

伯努利方程的水力学意义

伯努利方程的水力学意义
$$ \frac{v^2}{2g} 速度水头 $$
$$ z 位置水头 $$
$$ \frac{p}{\rho g} 压强水头 $$
$$ 常数H 总水头 $$

测压管水头线：位置水头+压强水头

不定常流伯努利方程

无可压缩无黏性流体沿流线作不定常流动

\[\int_{1}^{2} \frac{\partial v}{\partial t} ds + (\frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho}) |_{1}^{2} =0 \]

积分形式的动量方程及其应用

系统动量应为：

\[\mathbf{p}_{sys} = \int_{sys} \rho \mathbf{v} d \tau \]

动量方程：

\[\frac{d \mathbf{p}_{sys} }{dt} = \frac{d}{dt} \int_{sys} \rho \mathbf{v} d \tau = \sum \mathbf{F} \]

固定的控制体

利用运输公式得到随体导数：

\[\frac{d \mathbf{p}_{sys} }{dt} = \frac{D}{Dt} \int_{sys} \rho \mathbf{v} d \tau = \frac{\partial }{\partial t} \int _{CV} \rho \mathbf{v}d\tau + \int_{CS} \rho \mathbf{v} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} ) dA =\sum \mathbf{F} \]

定常流动则有：

\[\int_{CS} \rho \mathbf{v} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} ) dA =\sum \mathbf{F} \]

即：作用在固定控制体上的合外力＝从控制面上净流出的动量流量

沿流管的定常流动

沿流管的定常流动

\[\int_{CS} \rho \mathbf{v} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} ) dA = \int_{A_2} \mathbf{v} d \dot m -\int_{A_1} \mathbf{v} d \dot m \]

加上动量修正因子：

\[\int_{CS} \rho \mathbf{v} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} ) dA = \beta_2 \mathbf{V}_2 \dot m_2 - \beta_1 \mathbf{V}_1 \dot m_1 \]

考虑到连续性方程以及一般\(\beta\)取1

\[\dot m (\mathbf{V}_{out}-\mathbf{V}_{in}) = \sum \mathbf{F} \]

具有多个一维出入口的控制体上的定常流动

具有多个一维出入口的控制体

\[\sum (\dot m_i \mathbf{V}_i)_out - \sum (\dot m_i \mathbf{V}_i)_in = \sum \mathbf{F} \]

运动的控制体

\[\frac{\partial}{\partial t} \int_{CV} \rho \mathbf{v}_r d\tau \int_{CS} \rho \mathbf{v}_r (\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{n} ) dA =\sum \mathbf{F} \]

定常流动可以去掉第一项

另外多个一维出入口的控制体有运动坐标系中：

\[\sum (\dot m_r \mathbf{V}_r)_out - \sum (\dot m_r \mathbf{V}_r)_in = \sum \mathbf{F} \]

积分形式的动量矩方程及其应用（没讲）

积分形式的能量方程及其应用（没讲）

量纲分析和相似原理

\(\Pi\)定理：

1. 若一个方程包含了n个物理量，每个物理量的量纲均由r个独立的基本量纲组成，则这些物理量可以并只可以征程（n-r）个独立的无量纲参数，称为\(\Pi\)数
2. 选择r个独立的物理量为基本量，将其余（n-r）个物理量作为导出量，依次同基本量作组合量纲分析，可求得相互独立的（n-r）个\(\Pi\)数

即，将

\[x_1 = \varphi (x_2,x_3,\dots ,x_n) \]

转化为

\[\Pi = f (\Pi_2,\Pi_3,\dots ,\Pi_{n-r}) \]

量纲分析法

1. 列举所有相关的物理量
2. 选择包含不同基本量纲的物理量作为基本量
3. 将其与的物理量作为导出量，分别与基本量的幂次式组成\(\Pi\)表达式
4. 用量纲幂次式求解每个\(\Pi\)表达式中的指数，组成\(\Pi\)数

流动相似与相似准则

在流体力学中相似现象除了几何相似外，还有时间相似、运动相似、动力相似等

这种相似比可以成为几何/运动相似准数或者无量纲尺度/速度

相似准数的确定

1. 量纲分析法
2. 方程分析法：通过对物理量的无量纲化，带入方程得到的无量纲量
3. 物理法则分析法

几个常见的相似准则数

1. Re 数（雷诺数）

\[Re=\frac{\rho V l }{\mu} \]

表示惯性力和黏性力之量级比，描述黏性流体运动的最重要的无量纲参数，可通过大小辨别黏性流体运动的性质

2. Fr 数（弗劳德数）

\[Fr = \frac{V}{\sqrt{gl}} \]

表示惯性力与重力之量级比，描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量纲参数

3. Eu 数（欧拉数）

\[Eu=\frac{p}{\rho V^2} \]

表述压差力与惯性力之量级比，若局部压强小于当地蒸汽压强\(p_v\)，发生空化效应与空蚀现象，也称为空泡数或空蚀系数

\[\sigma =\frac{p-p_v}{\frac{1}{2}\rho V^2}=C_p \]

4. Sr 数（斯特劳哈尔数）

\[Sr = \frac{l \omega }{V} \]

表示不定常惯性力与迁移惯性力之量级比，常用来研究不定常流动或脉动流

描述黏性流体脉动流的无量纲参数：Wo 数（沃默斯利数）

\[Wo = l \sqrt{\frac{\omega}{v}} \]

表示不定常惯性力与黏性力之量级比

5. Ma 数（马赫数）

\[Ma = \frac{V}{c} \]

表示了惯性力与压缩力之量级比，主用用于以压缩性为重要因素的气体流动

6. We 数（韦伯数）

\[We = \frac{\rho V^2 l}{\sigma} \]

表示惯性力与表面张力之量级比，研究气液、液液、液固交界面上的表面张力作用要考虑

7. Ne 数（牛顿数）

\[Ne = \frac{F}{\rho V^2 l^2} \]

表示外力与流体惯性力之量级比

流体的平衡

力势力函数\(pi\)与体积力关系

\[f = - \nabla \pi \]

静力学基本方程

1. 均质或不可压缩流体
2. 体积力为重力
3. 同种流体的连通范围内

\[z + \frac{p}{\rho g} = 常数 \]

等角速度旋转运动

圆筒形储液罐内盛有均质流体，自由液面上压强为\(p_0\),圆筒以等角速度\(\omega\)绕中心轴\(z\)旋转

以中心为原点建立柱坐标系，最低点的坐标为\(r = 0 , z = z_0\)，有：

\[p = p_0 + \rho g [\frac{\omega ^2 r^2}{2g}+(z_0-z)] \]

其中抛物线绕中心轴形成的曲面与一平面围成的体积，水平面与抛物线极值点距离\(h\)，公式为：

\[V = \frac{1}{2}\pi r^2 h \]

不可压缩无黏性流体平面势流

无旋流场中的伯努利积分

1. 无黏性流体
2. 定常流动
3. 不可压缩流体
4. 体积力为重力
5. 无旋流动

流函数与势函数

势函数

\[\mathbf{v} = \nabla \mathbf{\Phi} \]

在柱坐标系中有：

\[v_r = \frac{\partial \mathbf{\Phi}}{\partial r} \quad v_{\theta} = \frac{1}{r}\frac{\partial \mathbf{\Phi}}{\partial \theta} \quad v_z = \frac{\partial \mathbf{\Phi}}{\partial z} \]

在等势线上，有

\[d \mathbf{\Phi} = \mathbf{v} \cdot d \mathbf{r}=0 \]

所以等势线上处处与速度矢量垂直

流函数

流函数\(\mathbf{\Psi}\)：

\[u = \frac{\partial \mathbf{\Psi}}{\partial y} \quad -v = \frac{\partial \mathbf{\Psi}}{\partial x} \]

此刻不可压缩流体的连续性方程自然成立

在极坐标上的流函数表示：

\[v_r =\frac{1}{r} \frac{\partial \mathbf{\Psi}}{\partial \theta} \quad v_{\theta} = -\frac{\partial \mathbf{\Psi}}{\partial r} \]

流函数等值线可以得到相对应的流线

无旋流场存在势函数、不可压缩平面流动存在流函数

平面势流

平面势流无旋且不可压缩，因而有流函数与势函数

带入无旋和不可压缩的方程中可以得到

\[\nabla^2 \mathbf{\Phi} = \nabla^2 \mathbf{\Psi} =0 \]

几个基本解

1. 均流

均流势函数与流函数示意

全流程等速分布的直线流动，均流中各点速度大小相同，方向一致
速度分布条件：

\[u = U \quad v = 0 \]

由速度分布条件可以解得流函数与势函数：

\[\mathbf{\Phi} = Ux \quad \mathbf{\Psi} = Uy \]

推广到一般情况

均流速度与坐标轴存在夹角$\alpha $

\[\mathbf{\Phi} = U(x \cos \alpha + y \sin \alpha) \quad \mathbf{\Psi} = U(y \cos \alpha - x \sin \alpha) \]

在极坐标系中

\[\mathbf{\Phi} = Ur \cos \theta \quad \mathbf{\Psi} = Ur \sin \theta \]

2. 点源、点汇

点源、点汇的势函数与流函数示意

流体从一点流出，沿径向均匀地向各个方向的流动，称为点源
流体沿径向均匀地从各个方向流入一点称为点汇

单位厚度的流量\(Q\)称为点源（\(Q>0\)）或点汇（\(Q<0\)）的强度

在极坐标系中，流量\(Q\)定义：\(Q = 2 \pi r v_r\)

\[\frac{\partial \Phi}{\partial r} = v_r = \frac{Q}{2 \pi r} \quad \frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial \theta} = v_{\theta} =0 \]

\[\Phi = \frac{Q}{2 \pi } \ln r \]

\[\frac{1}{r}\frac{\partial \Psi}{\partial \theta} = v_r = \frac{Q}{2 \pi r} \quad - \frac{\partial \Psi}{\partial r} = v_{\theta} =0 \]

\[\Psi = \frac{Q}{2 \pi } \theta \]

3. 点涡

一根无限长的直涡线，在与其垂直的平面内诱导的流场称为点涡场，又称为势涡或环流

根据斯托克斯定理，沿以\(r\)为半径的圆周的速度环量等于该圆周内的涡通量，当涡线的涡量不变时，沿任意圆周的速度环量\(\Gamma\)为常数，称\(\Gamma\)为涡线的强度（逆时针为正）

\[\Gamma = \oint_L \mathbf{v} \cdot d \mathbf{r} = \int_{0}^{2 \pi } v_{\theta} r d\theta =2 \pi r v_{\theta}= 常数 \]

\[\frac{\partial \Phi}{\partial r} = v_r = 0 \quad \frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial \theta} = v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2 \pi r} \]

\[\Phi = \frac{\Gamma}{2 \pi } \theta \]

\[\frac{1}{r}\frac{\partial \Psi}{\partial \theta} = v_r = 0 \quad - \frac{\partial \Psi}{\partial r} = v_{\theta} =- \frac{\Gamma}{2 \pi r} \]

\[\Psi = - \frac{\Gamma}{2 \pi } \ln r \]

4. 偶极子

偶极子势函数与流函数示意

设在坐标原点有一强度为\(Q\)的点汇，在\((-\delta , 0)\)点有一强度相同的点源

流函数与势函数叠加，利用

\[\theta - \theta _1 = \frac{\delta \sin \theta_1}{r} \]

设\(M = \delta Q\)，可以得到

\[\mathbf{\Psi} = - \frac{M}{2\pi} \frac{\sin \theta}{r} \quad \mathbf{\Phi} = \frac{M}{2\pi} \frac{\cos \theta}{r} \]

5. 兰金半体绕流：均流+点源

6. 兰金卵体绕流：均流+点源+点汇

绕圆柱的平面势流

无环量圆柱绕流

无环量圆柱绕流

\[\Psi = ( U - \frac{M}{2 \pi r^2} ) r \sin \theta \]

确定零流线\(\Psi =0 , r=a\)得到\(M = 2 \pi r^2 U\)，因此确定流函数与势函数

\[\Psi = U(1-\frac{a^2}{r^2}) r \sin \theta \quad \Phi =U(1+\frac{a^2}{r^2}) r \sin \theta \]

圆柱表面速度分布

\[v_{rs} = \frac{\partial \Phi}{\partial r} |_{r=a} = 0 \quad v_{rs} = \frac{r}{1}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta } |_{r=a} = -2U\sin \theta \]

圆柱表面压强分布

根据伯努利-拉格朗日方程

\[p_s = p_{\infty} + \frac{1}{2} \rho U^2(1-4\sin ^2 \theta) \]

有环量圆柱绕流

\[\Psi = U(1-\frac{a^2}{r^2}) r \sin \theta + \frac{\Gamma}{2 \pi} \ln r \quad \Phi =U(1+\frac{a^2}{r^2}) r \sin \theta - \frac{\Gamma}{2\pi} \theta \]

圆柱表面速度分布

\[v_{rs} = \frac{\partial \Phi}{\partial r} |_{r=a} = 0 \quad v_{rs} = \frac{r}{1}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta } |_{r=a} = -2U\sin \theta -\frac{\Gamma}{2\pi a} \]

则环量与驻点临界角的关系

\[\sin \theta_{cr} = - \frac{\Gamma}{4\pi a U} \]

环量逐渐增大圆柱绕流示意

圆柱表面压强分布

\[p_s = p_{\infty} + \frac{1}{2} \rho U^2(1-4\sin ^2 \theta - \frac{2\Gamma \sin \theta}{\pi a U} - \frac{\Gamma ^2}{4\pi^2 a^2 U^2}) \]

压强积分后可以得到合力

\[F_x = 0 \quad F_y = \rho U \Gamma \]

不可压缩黏性流体内流

平行平板间层流流动

1. 定常流动
2. \(\rho\)= 常数
3. 在\(x\)方向为充分发展流动，\(u = u(y)\)
4. \(v=0\)
5. 重力场\(f_x =0 ,f_y= - g\)

固定平板间的定常层流

泊肃叶流

N-S方程化简为：

\[0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{d^2 u}{d y^2} \quad 0 = - \rho g - \frac{\partial p}{\partial y} \]

得到速度分布

\[u = \frac{1}{2 \mu} \frac{dp}{dx} (y-\frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{8 \mu} \frac{dp}{dx} \]

流量与平均速度

\[Q=\int_{0}^{b} u dy = -\frac{b^3}{12 \mu}\frac{dp}{dx} \]

\[V=\frac{Q}{b} = \frac{2}{3} u_{max} \]

切应力分布

\[\tau = \mu \frac{dp}{dy} (y-\frac{b}{2})\frac{dp}{dx} \]

一般库埃特流

下板固定上板匀速\(U\)沿\(x\)方向运动的平面间层流

速度分布

\[u = \frac{U}{b}y + \frac{1}{2 \mu} \frac{dp}{dx} (y^2-by) \]

切应力分布

\[\tau = \frac{dp}{dx} y + \mu \frac{dp}{dy} (y-\frac{b}{2})\frac{dp}{dx} \]

圆管层流流动

根据压差力与粘性力平衡的方程

\[\frac{2 \tau}{r} = -\frac{dp}{dx} = G \]

根据牛顿黏性定律得到速度分布

\[u=\frac{G}{4\mu}(R^2-r^2) \]

泊肃叶定律

\[Q = \int_{0}^{R} u \cdot 2\pi r dr = \frac{\pi}{8 \mu} G R^4 \]

圆管湍流流动

圆管流动沿程损失

水头形式的伯努利方程

\[(\frac{V^2}{2g}+z+\frac{p}{\rho g})|_1 = (\frac{V^2}{2g}+z+\frac{p}{\rho g})|_2 + h_L \]

水头损失\(h_L\)由两部分组成

1. 沿程损失\(h_f\)：是沿等截面管流动时管壁黏性切应力引起的摩擦损失
2. 局部损失\(h_m\)：是由界面面积变化、流动分离和二次流等局部因素引起的损失

达西公式

\[h_f=\lambda \frac{l}{d} \frac{V^2}{2g} \]

管道长\(l\)，管道直径\(d\)，两者比值为几何因子，\(V\)为平均速度

达西摩擦因子的计算

1. 层流区

\[\lambda = \frac{64}{Re} \]

2. 过渡区（2300<Re<4000）

从层流转捩到湍流，无明确的规律

3. 湍流光滑区

普朗特公式*

\[\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = 2 \lg (Re \sqrt{\lambda}) - 0.8 \]

4. 湍流完全粗糙区

冯·卡门公式*

\[\lambda = \frac{1}{[1.74+2 \lg (\frac{d}{2 \epsilon})]^2} \]

穆迪图

看图应用

穆迪图

1. 给定管道\((d,\epsilon)\)和流量\((Q)\)，求沿程损失\((h_f)\)
2. 给定管道\((d,\epsilon)\)和沿程损失\((h_f)\)，求流量\((Q)\)
3. 给定沿程损失\((h_f)\)和流量\((Q)\)，求管道\((d,\epsilon)\)

第一类问题根据穆迪图确定达西摩擦因子，计算沿程损失，第二三类问题由于雷诺数未知，用穆迪图作迭代运算

局部损失

\[h_m=K\frac{V^2}{2g} \]

局部损失因子\(K\)

1. 出口和入口

出口和入口局部损失因子

2. 扩大与缩小

扩大损失因子\(K_e = (1-\frac{d_1}{d_2})^2\)
缩小损失因子\(K_c = (1-\frac{d_1}{d_2})^2\)

水头损失因数跟扩张角度有关

3. 弯管与分叉管

4. 阀门

以上数据均可查表得到

不可压缩黏性流体外流

普朗特（1904）认为实际流体在流过固壁时粘附于固壁上，在固壁附近形成一个从固壁速度为零到外流速度的速度梯度区。在大Re流动中，该区是一薄层，普朗特将其称为边界层

边界层内的流态

转捩的下临界当地雷诺数约为\(Re_{xcr}=3.2 \times 10^5\)

边界层厚度

1. 名义厚度

将边界层厚度定义为速度达到外流速度\(U\)的\(99%\)的时候离避免的垂直距离

\[\delta = 5\sqrt{\frac{\mu x }{\rho U}} \]

2. 位移厚度

位移厚度

将损失的质量流量折算成无黏性流体的流量，厚度为\(\delta ^{*}\)

\[\rho \delta ^{*} U = \int_{0}^{\infty} \rho *(U - u) dy \]

\[\delta ^{*} = \int _{0}^{\delta} (1-\frac{u}{U})dy \]

3. 动量厚度

将损失的动量流量折算成无黏性流体的流量，厚度为\(\theta\)

\[\rho \theta U \cdot U = \int_{0}^{\infty} \rho u (U - u) dy \]

\[\theta = \int _{0}^{\delta} \frac{u}{U}(1-\frac{u}{U})dy \]

平板层流边界层精确解

根据边界层为一薄层：$\delta << L , v<< u $

改写N-S方程可得普朗特边界层方程

\[\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0 \]

\[\rho (u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}) = -\frac{dp}{dx} + \mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \]

\[\frac{\partial p}{\partial y} = 0 \]

布拉休斯平板边界层精确解

得到

位移厚度

\[\frac{\delta ^*}{x} = \frac{1.721}{\sqrt{Re_{x}}} \]

\[\frac{\theta}{x} = \frac{0.664}{\sqrt{Re_{x}}} \]

\[\tau_{w} = \frac{0.332\rho U^2}{\sqrt{Re_{x}}} \]

\[C_f = \frac{\tau_{w}}{\frac{1}{2}\rho U^2}=\frac{0.664}{\sqrt{Re_{x}}} \]

\[C_{Df} = \frac{1}{l}\int_{0}^{l} C_f dx = \frac{1.328}{\sqrt{Re_{x}}} \]

边界层动量方程（近似解法）

\[\tau_w = \rho \frac{d}{dx} (U^2\theta) + \rho \delta^* U \frac{dU}{dx} \]

\[\frac{C_f}{2} = \frac{\tau_{w}}{\frac{1}{2}\rho U^2} = \frac{d \theta }{dx} + (2 + H)\frac{\theta}{U} \frac{dU}{dx} \]

对于平板边界层，\(U\)为常数，化简得到

\[\tau_w = \rho \frac{d}{dx} (U^2\theta) \quad C_f=2\frac{d \theta }{dx} \]

无压强梯度平板边界层近似计算

令\(g (\eta) = \frac{u}{U}\)

\[\alpha = \int_{0}^{1} g(1-g)d\eta \quad \beta = g'(0) \]

\[\tau_w = \sqrt{\frac{\alpha \beta}{2}} \frac{\rho U^2}{\sqrt{Re_x}} \]

\[C_f = \frac{\tau_w}{\frac{1}{2}\rho U^2} = \frac{\sqrt{2\alpha \beta}}{\sqrt{Re_x}} \]

平板湍流边界层

条件：

\[\frac{u}{U} = (\frac{y}{\delta})^{\frac{1}{7}} = \eta^{\frac{1}{7}} \]

可以的得到

\[\theta = \delta \int_{0}^{1} \eta^{\frac{1}{7}}(1-\eta^{\frac{1}{7}}) d\eta = \frac{7}{72} \delta \]

\[\tau_w = 0.0233 \rho U^2 (\frac{\mu}{\rho U \delta})^{\frac{1}{4}} \]

代入动量积分方程，解得\(\delta\)

\[\frac{\delta}{x} = \frac{0.382}{Re_{x}^{1/5}} \]

编写日志
2025.11.1 开始施工
2025.11.3 完成期中复习第一版
2025.12.14 完成期末复习第一版
2025.12.14 完成期末复习第一版