大学物理3期末复习

参考资料：
刘当波老师分享的复习资料
复习资料共享（含有21-23年的三套历年试卷）: https://pan.sjtu.edu.cn/web/share/6bcb3ebc49ede72e2f5cb3b462778e7e
提取码: ylwl（云里雾里）

2025.6.11考完留言
试卷查重率奇高，建议考前多做历年试卷

先贴一个大学物理3的考试要求在这里：

黑体辐射（普朗克黑体辐射公式无需记忆）、光电效应、康普顿散射、玻尔理论、德布罗意物质波理论、波函数统计解释、波函数的标准条件、微观粒子的波粒二象性、不确定关系、电子双缝衍射、态叠加原理、哈密顿算符、含时薛定谔方程、定态薛定谔方程、概率流密度矢量、概率守恒方程；

力学量的算符表示、厄密算符的性质和厄密算符的本征值方程、本征函数的正交性、波函数的本征函数展开、测量假设、力学量的平均值、坐标与动量算符的对易关系、角动量算符的对易关系、角动量算符的本征函数和本征值、力学量完全集；

无限深势阱（会处理非定态问题）；

有限深势阱（会写薛定谔方程与边界条件、了解宇称概念）；

隧道效应（会写薛定谔方程与边界条件）；

谐振子（薛定谔方程求解过程不要求）；

氢原子；

电子自旋；

双态系统（仅限于氨分子）；

注意：上述几部分内容以分号结尾，考试权重与字数多少无关

1.量子力学的五个原理

1. 描写微观系统状态的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个复数因子的两个矢量，描写同一状态
2. (1)描写微观系统物理量的是希尔伯特空间中的厄米算符
   (2)物理量所能取的值，是相应算符的本征值
   (3)物理量在\(A\)在状态\(|\psi >\)中取各值\(a_{i}\)的概率，与态矢量\(|\psi >\)按\(A\)的归一化的本征矢量\({| a_{i}>}\) 的展开式中 \(| a_{i}>\) 的系数的复平方成正比
3. 微观系统中每个粒子的直角坐标下的位置算符\(X_{i}(i=1,2,3)\)，与相应的正则动量算符\(P_{i}\)有以下列对易关系

\[[\hat X_{i} ,\hat X_{j} ]=0 \quad [\hat P_{i} ,\hat P_{j} ]=0 \quad [\hat X_{i} ,\hat P_{j} ]=i \hbar \delta_{ij} \]

4. 微观系统的状态\(| \psi (t) >\)随时间变化的规律是薛定谔方程

\[i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi (t)>=\hat H \ |\psi (t)> \]

5. 描写全同粒子系统的态矢量，对于任意一对粒子的对调，
   是对称的或反对称的。服从前者的粒子成为玻色子，服从后
   者的粒子称为费米子

2. 黑体辐射

单色辐出度\(M_{\lambda}\)：物体单位表面在单位时间内发出的波长在\(\lambda\)附近单位波长间隔内的电磁波的能量，即

\[M_{\lambda}(T)=\frac{dE_{\lambda}}{d\lambda} \]

辐出度M(T)：物体在单位时间内从单位面积上发射的所有各种波长的电磁波的总能量

\[M(T)=\int_{0}^{\infty}M_{\lambda}(T)d\lambda \]

单色辐出度\(M_{\nu}\)：物体单位表面在单位时间内发出的频率在\(\nu\)附近单位波长间隔内的电磁波的能量，与单色辐出度的关系：

\[M_{\lambda}(T)=\frac{c}{\lambda^2}M_{\nu}(T) \]

吸收比当辐射从外界入射到物体表面时，吸收能量与入射总能量之比:

\[\alpha(T)=\frac{E^{吸收}}{E^{入射}}, \quad 吸收能力的量度 \]

单色吸收比：当辐射从外界入射到物体表面时，在\(\lambda\)到\(\lambda+d\lambda\)的波段内吸收的能量\(E_{\lambda}^{吸收}d\lambda\)与入射的总能量\(E_{\lambda}^{入射}d\lambda\)之比:

\[\alpha(\lambda,T)=\frac{E_{\lambda}^{吸收}}{E_{\lambda}^{入射}} \]

基尔霍夫定律：在热平衡下，任何物体的单色辐出度与单色吸收比的比值与物体的性质无关，对于所有物体，这个比值是波长和温度的普适函数

\[\frac{M(\lambda,T)}{\alpha(\lambda,T)}=M_{0}(\lambda,T) \]

黑体：能完全吸收各种波长电磁波而无反射的物体

斯特藩-玻尔兹曼定律：黑体的辐出度与黑体的热力学温度的四次方成正比

\[M(T)=\sigma T^4 , \quad 斯特藩-玻尔兹曼常数\sigma=5.67\times 10^{-8}W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4} \]

维恩位移定律：黑体辐射中单色辐出度的极值波长\(\lambda_{m}\)与黑体温度\(T\)之积为常数

\[\lambda_{m}T=b \quad b=2.897\times 10^{-3}m\cdot K \]

普朗克能量子假设：原子振子振动的能量是不连续的，只能取最小能量\(E_{0}=h\nu\)的整数倍，最小能量称为能量子，其中普朗克常数\(h=6.6260755\times 10^{-34} J \cdot s\)

普朗克公式

\[M_{\nu}=\frac{2\pi \nu^{2}}{c^2}\frac{h\nu}{e^{\frac{h\nu}{kT}-1}} \]

3.薛定谔方程

3.1波函数与概率密度

波函数\(\psi (\vec r ,t)\)是描述粒子空间概率分布的“概率幅”
\(|\psi (\vec r ,t)|^2=\psi^{*} (\vec r ,t)\psi (\vec r ,t)\)表示\(t\)试课微观粒子在空间\(\vec r\)点出现的相对概率密度

波函数应满足：连续性、有限性、单值性、归一化条件

3.2薛定谔方程

3.2.1自由粒子的薛定谔方程

\[i\hbar \frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}=E\psi (x,t) \]

定义能量算符、动量算符、角动量算符

\[\hat E =i\hbar \frac{\partial}{\partial t},\quad \hat p_{x}=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \]

\[\hat {\vec L}=\vec r \times \hat {\vec p} \]

3.2.2薛定谔方程的一般形式

定义哈密顿算符

\[\hat H =-\frac{\hbar^2}{2m}\bigtriangledown^2+U(x,t) \]

则有薛定谔方程：

\[\hat E \psi(x,t)=\hat H \psi (x,t) \]

一维哈密顿算符

\[\hat H =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+U(x,t) \]

3.2.3定态薛定谔方程

若微观粒子处在稳定的势场中，则势能函数\(U\)与时间无关，称这类问题为定态问题。

求解定态问题的步骤

1. 列出定态Schrodinger方程
2. 根据波函数三个标准条件求解能量\(E\)的本征值问题
3. 写出顶天波函数即得到对应第\(n\)个本征值\(E_{n}\)的定态波函数
4. 通过归一化确定归一化系数

3.2.4态叠加原理

若\(\psi_{1},\psi_{2},\dots ,\psi_{n},\dots\)是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加\(\psi=c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2}+\dots+c_{n}\psi_{n}+\dots\)（其中$c_{1},c_{2},\dots ,\c_{n},\dots $为复常数）也是体系的一个可能状态

4.量子力学基本假设

1. 波函数假设微观粒子的状态可以被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般满足连续性、有限性和单值性三个条件
2. 力学算符假设，量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，厄米算符\(\hat F =\hat F (x,y,z)\)需要满足：

\[\int \psi^* \hat F \varphi dxdydz=\int \varphi (\hat F \psi)^*dxdydz \]

(1)厄米算符平均值：\(\bar F =\int \psi^* \hat F \psi dxdydz\)
(2)厄米算符本征方程：\(\hat F \psi_n=F_n \psi_n，F_n\)为本征值
(3)厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交

3. 测量假设：当一个量子系统处于量子态$\psi \(时，对力学量\)\hat F\(的进行测量的结果一定为该力学量算符的本征值之一，测量结果为\)F_n$的概率为：

\[|c_n|^2=|\int \varphi_n^* \psi dxdydz|^2 \]

这里\(\hat F \phi_n=F_n \phi_n\)是力学量\(\hat F\)的本征方程，测量完成后，量子系统坍缩至\(\phi_n\)

推论：对量子系统测量动量的结果一定是本征方程的本征值之一

4. 态叠加原理
5. 薛定谔方程
6. 同类粒子的不可分辨性原理：在量子力学中，内禀属性完全相同的粒子是不可分辨的，对任意两个这样的粒子进行交换，不会改变系统的状态。

5.势阱问题

5.1无限深势阱

5.2有限深势阱

宇称问题
空间反演（反射）算符\(P\)为\(P\psi (x)=\psi (-x)\)
偶宇称：\(P\psi(x)=\psi(-x)=\psi(x)\)
奇宇称：\(P\psi(x)=\psi(-x)=-\psi(x)\)
波函数在势能变化处连续

6.算符的对易关系

\[[\hat F,\hat G]=\hat F \hat G-\hat G \hat F \]

动能算符：

\[\hat T=\frac{\hat p_x^2+\hat p_y^2+\hat p_z^2}{2m} \]

对易关系：\([\hat F,\hat G]=0\)则\(\hat F\)与\(\hat G\)对易

力学量完全集合：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集

6.1不确定关系

非对易关系的两个力学量具有不确定关系

6.2概率流密度矢量

\[\vec j =\frac{i \hbar}{2m}(\psi \triangledown \psi^* -\psi^* \triangledown \psi^) \]

7.隧穿效应

透射系数\(T\)：透射波和入射波概率流密度之比
反射系数\(R\)：反射波和入射波概率流密度之比
概率流密度公式：\(j=|A|^2\frac{\hbar k}{m}\)
\(T+R=1\)

8.氢原子

1. 能量量子化：\(E_{n}=-13.6\frac{1}{n^2}(eV)\)
2. 电子轨道角动量量子化：\(L=\sqrt{l(l+1)\hbar}\)
3. 角动量空间量子化：\(L_z=m_l \hbar\)

9.多电子原子

1. 主量子数\(n \ (1,2,3,\dots)\)
2. 角量子数\(l \ (1,2,\dots,n-1)\)，角动量\(L=\sqrt{l(l+1)}\hbar\)
3. 磁量子数\(m_l \ (0,\pm 1,\pm 2,\pm3, \dots , \pm l)\)，角动量在z轴投影\(L_z=m_l\hbar\)
4. 自旋磁量子数\(m_s, \ \pm \frac{1}{2}\)

10.康普顿效应

11.电子双缝衍射和光电效应

光电效应：\(h\nu=\frac{1}{2}mv^2+A=eU_a+A\)
电子单缝衍射：