常微分方程（ODE）浅析

1.微分方程的求解——初等积分法

隐式解
对于一阶方程

\[F(x,y,\frac{dy}{dx})=0（1.1） \]

若这时候方程\(\Phi(x,y,C)=0\)当常数\(C\)在某个给定的区域取值时所确定的隐函数\(y=\varphi(x)\)是方程（1.1）的解
则称\(\Phi(x,y,C)=0\)是方程（1.1）的隐式解

1.1变量分离

变量分离方程

形如

\[\frac{dy}{dx}=h(x)g(y) \]

两端积分得

\[G(y)=H(x)+C \]

其中\(G\)的导数显然不为0，故有逆函数\(G^{-1}\)，则

\[y=G^{-1}(H(x)+C) \]

可化为变量分离方程的类型

1. 一阶线性微分方程（常数变易法）

\[\frac{dy}{dx}=a(x)y+f(x)（1.2） \]

当\(f(x)\equiv 0\)时，称方程（1.2）是齐次线性方程，否则为非齐次线性方程
由变量分离法不难得出，齐次线性方程的解为

\[y=Ce^{\int a(x)dx}（1.3） \]

此时利用常数变易法，将常数\(C\)视为\(x\)的函数\(C(x)\)

带入方程（1.2）可以得到

\[c(x)=\int f(x)e^{-\int a(x)dx}dx+C \]

代入（1.3）可得

\[y=Ce^{\int a(x)dx}+e^{\int a(x)dx}\int f(x)e^{-\int a(x)dx}dx \]

2. Bernoulli方程

形如

\[\frac{dy}{dx}=a(x)y+f(x)y^{\alpha}（1.4） \]

引入\(z=y^{1-\alpha}\)

\[\frac{dz}{dx}=(1-\alpha)y^{\alpha}\frac{dy}{dx} \]

得到

\[\frac{dz}{dx}=(1-\alpha)a(x)z+(1-\alpha)f(x) \]

是一个一阶线性微分方程

3. 齐次方程

形如

\[\frac{dy}{dx}=f(x,y)\quad 其中 f(\lambda x,\lambda y)\equiv f(x,y)（1.5） \]

引入\(u=\frac{y}{x}\) 有

\[\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx} \]

得到

\[x\frac{du}{dx}=f(1,u)-u \]

4. 线性分式形势的微分方程

形如

\[\frac{dy}{dx}=f(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_{1}}{a_{2}x+b_{2}y+c_{2}})（1.6） \]

当\(c_{1}=c_{2}=0\)时，为齐次方程，故接下来讨论\(c_{1},c_{2}\)不全为0的情况

I.\(\Delta=\begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} \ne 0\)

此时可以取唯一的\(h,k\)：

\[h=\frac{b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}}{\Delta} \quad k=\frac{a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}{\Delta} \]

通过\(h,k\)对\(x,y\)进行平移变换

\[x=\xi +h \quad y=\eta +k \]

将方程（1.6）化为齐次方程

\[\frac{d\eta}{d\xi}=f(\frac{a_{1}\xi+b_{1}\eta}{a_{2}\xi+b_{2}\eta}) \]

II.\(\Delta= \begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{vmatrix} = 0\)

1. \(b_{1} \ne 0 , a_{1} \ne 0 , \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\lambda\)

令\(z=a_{1}x+b_{1}y\)可将方程（1.6）化为

\[\frac{dz}{dx}=a_{1}+b_{1}f(\frac{z+c_{1}}{\lambda z+c_{2}}) \]

2. $b_{1} \ne 0 , a_{1}=a{2} = 0 $ 或者 $a_{1} \ne 0 , b_{1}=b{2} = 0 $
   此时方程（1.6）为

\[\frac{dy}{dx}=f(\frac{b_{1}y+c_{1}}{b_{2}y+c_{2}}) \quad \frac{dy}{dx}=f(\frac{a_{1}y+c_{1}}{a_{2}y+c_{2}}) \]

3. \(b_{1}=a_{1}=0\)

引入\(z=a_{2}x+b_{2}y\)方程（1.6）化为

\[\frac{dz}{dx}=a_{2}+b_{2}f(\frac{c_{1}}{z+c_{2}}) \]

1.2恰当方程形式

把一阶微分方程写成

\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0（1.7） \]

如果方程（1.7）的左边恰好是某一函数\(u=U(x,y)\)的全微分，及\(dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy\),则称方程（1.7）为恰当方程或全微分方程
在这种情况下，\(U(x,y)=C\)是恰当方程（1.7）的隐式通解，称\(U(x,y)\)是方程（1.7）的首次积分

方程\(U(x,y)\equiv C\)所确定的隐函数\(y=\phi(x)\)是方程（1.7）的解
定理1.1

若函数\(M,N\)在某个开的矩形区域\(G\)内具有连续的一阶偏导数，则方程（1.7）为恰当方程的充要条件是

\[\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \]

积分因子法
方程（1.7）同方程

\[\mu (x,y)(M(x,y)dx+N(x,y)dy)=0（1.8） \]

具有某种等价性，寻找\(\mu (x,y)\)使得方程（1.8）为恰当方程，由定理1.1可以得到方程（1.8）为恰当方程的充要条件是

\[\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x} \]

\[N\frac{\partial \mu}{\partial x}-M\frac{\partial \mu}{\partial y}=(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x})\mu \]

对于寻找合适的\(\mu\)，可以退一步将其看做\(x\)的函数\(\mu (x)\)，不难得出\(\mu(x)=e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}dx}\)

可供参考的全微分公式

\[\begin{matrix} d(xy)=ydx+xdy \\ d(\frac{y}{x})=\frac{xdy-ydx}{x^{2}} \\ d(x^{2}+y^{2})=2(xdx+ydy) \\ d(\arctan \frac{y}{x})=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} \\ d(ln\frac{y}{x})=\frac{xdy-ydx}{xy} \end{matrix} \]

如果方程（1.7）有积分因子\(\mu (x,y)\)和相应的的原函数\(U(x,y)\)

\[dU(x,y)=\mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)N(x,y)dy \]

则\(\mu(x,y)h(U(x,y)))\)也是方程（1.7）的一个积分因子，其中\(h\)是任意一个可微的非零函数

1.3隐式方程

一般隐式方程形式：

\[F(x,y,\frac{dy}{dx})=0（1.9） \]

一般的解法，令\(p=\frac{dy}{dx}\)：

1. 将曲面\(F(x,y,p)=0\)表示成参数形式\(x=\phi(s,t)\ ,\ y=\psi(s,t)\ ,\ p=\kappa(s,t)\)
2. 由\(p=\frac{dy}{dx}\)和全微分可以得到

\[(\frac{\partial \psi}{\partial s}-\frac{\partial \psi}{\partial s}\kappa)ds+(\frac{\partial \psi}{\partial t}-\frac{\partial \psi}{\partial t}\kappa)dt=0 \]

1.4初等积分法的一些应用

1.4.1奇解

积分曲线族的包络所对应的解称为方程的奇解

C-判别曲线
若微分方程的曲线族为\(\Phi(x,y,C)=0\)，若其是\(x,y,C\)的连续可微函数的时候，其包络应满足

\[\left\{\begin{matrix} \Phi(x,y,C)=0 \\ \Phi'_{C}(x,y,C)=0 \end{matrix}\right. \]

消去\(C\)后得到\(\Omega(x,y)=0\)所确定的曲线称为C-判别曲线，其中可能只有部分分支是包络

p-判别曲线
若函数\(F(x,y,p)\)连续且对\(x,y,p\)连续可微，则方程\(F(x,y,\frac{dy}{dx})\)的奇解应该满足关系式

\[\left\{\begin{matrix} F(x,y,p)=0 \\ F'_{p}(x,y,p)=0 \end{matrix}\right. \]

或者从中消去\(p\)得到关系式\(\Delta(x,y)=0\)，其中\(p=\frac{dy}{dx}\)，这条曲线称为p-判别曲线，其中可能只有部分分支是包络

1.4.2高阶微分方程

不显含未知函数\(y\)的方程

\[F(x,\frac{d^ky}{dx^k},\dots ,\frac{d^ny}{dx^n})=0 \]

令\(p=\frac{d^ky}{dx^k}\)，将方程变为关于\(p\)的\(n-k\)阶微分方程

\[F(x,p,\frac{dp}{dx},\dots ,\frac{d^{n-k}p}{dx^{n-k}})=0 \]

不显含未知函数\(x\)的方程

\[F(y,\frac{dy}{dx},\dots ,\frac{d^ny}{dx^n})=0 \]

令\(p=\frac{dy}{dx}\)，将方程变为关于\(p\)的\(n-1\)阶微分方程

\[F(y,p,\frac{dp}{dy},\dots ,\frac{d^{n-1}p}{dy^{n-1}})=0 \]

齐次方程

\[F(x,y,\frac{dy}{dx},\dots ,\frac{d^ny}{dx^n})=0 \]

是关于变量\(y,\frac{dy}{dx},\dots ,\frac{d^ny}{dx^n}\)的零次齐次函数，即

\[F(x,ty,t\frac{dy}{dx},\dots ,t\frac{d^ny}{dx^n})=F(x,y,\frac{dy}{dx},\dots ,\frac{d^ny}{dx^n}) \]

令\(p=\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\)，将方程变为关于\(p\)的\(n-1\)阶微分方程

\[F(x,p,\frac{dp}{dx},\dots ,\frac{d^{n-1}p}{dx^{n-1}})=0 \]

全微分方程

\[F(x,y,\frac{dy}{dx},\dots,\frac{d^ny}{dx^n})=0=\frac{d}{dx}\Phi(x,y,\dots,\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}})=\frac{\partial \Phi}{\partial x_{1}}+\frac{\partial \Phi}{\partial x_{2}}\frac{dy}{dx}+\dots+\frac{\partial \Phi}{\partial x_{n+1}}\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} \]

此时方程等价于

\[\Phi(x,y,\dots,\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}})=C \]

1.4.3Riccati方程

\[\frac{dx}{dt}=a(t)x^2+b(t)x+c(t) \]

2.一般理论

2.1Picard存在唯一性定理

本节我们考虑微分方程

\[\frac{dx}{dt}=f(t,x)（2.1） \]

以及相应的初值问题

\[\frac{dx}{dt}=f(t,x)\ ,\ x(t_{0})=x_{0}（2.2） \]

其中\(f(t,x)\)在矩形区域\(R={(t,x)\in mathbb{R}^2: |t-t_{0}| \le a\ ,\ |x-x_{0}| \le b}\)上连续，且有

\[|f(t,x_{1})-f(t,x_{2})| \le L|x_{1}-x_{2}| \]

则称\(f(t,x)\)在\(R\)上关于\(x\)满足Lipschitz条件，\(L\)为Lipschitz常数

（Picard存在唯一性定理）若\(f(t,x)\)在\(R\)上连续且关于\(x\)满足Lipschitz条件，Lipschitz常数为\(L\)，则初值问题（2.2）在区间\(I=[t_{0}-h,t_{0}+h]\)上的解存在且唯一，其中

\[h=min\{a,\frac{b}{M} \}\ ,\ M=max\{|f(t,x)|:(t,x) \in R \} \]

1. 初值问题（2.2）等价于积分方程\(x(t)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}f(\tau ,x(\tau))d\tau\)

2.2Peano存在性定理

在本节考虑初值问题（2.2）不同的是这里仅要求\(f(t,x)\)在矩形区域连续而不一定满足Lipschitz条件，此时初值问题（2.2）的解仍然存在只是不一定唯一

（Peano存在性定理）若\(f(t,x)\)在矩形区域\(R\)上连续，则初值问题（2.2）在区间\(I=[t_{0}-h,t_{0}+h]\)上至少有一个解，其中

\[h=min\{a,\frac{b}{M} \}\ ,\ M=max\{|f(t,x)|:(t,x) \in R \} \]

（引理2.1 Ascoli-Arzela引理）定义在有界闭区间\([\alpha,\beta]\)上的一致有界且等度连续的无穷函数族\(mathcal{F}={f(t)}\)必存在一个在\([\alpha,\beta]\)上一致收敛的子序列