材料力学期末复习整理

参考资料：
张律文老师上课ppt

1.拉伸与压缩

构件只承受轴向载荷的条件

直杆（曲杆）、柔索
杆件两端都是铰链约束
杆件两端之间没有非轴向载荷作用

直杆受拉或受压时的特点
受力特点：外力合力的作用线与杆轴线重合
变形特点：杆件变形沿轴线方向伸长或者缩短

内力

符号规定：使杆件受拉的轴力为正，使杆件受压的轴力为负

1.1画轴力图：

确定作用在杆件上的外载荷和约束力
确定控制面
用截面法求控制面轴力
建立坐标系画图

1.2横截面上的正应力：

平面假设：各纵向纤维变形相同、受力相同、正应力在横截面上均匀分布
正应力公式：$\sigma = \frac{F_{N}}{A}$

圣维南定理*（杆物加载方式对正应力的影响）：若用与外力系等效的合力代替原力系，则这种代替对构件内应力与应变的影响只限于原力系作用区域附近很小的范围内，对于杆件，此范围相当于横向尺寸的1~1.5倍

1.3斜截面上的应力

斜截面k-k：$F_{\alpha =F}$、$A_{\alpha}=\frac{A}{\cos \alpha}$

全应力：$p_{\alpha}=\frac{F}{A}\cos \alpha =\sigma \cos \alpha$

正应力：$\sigma _{\alpha}=p_{\alpha} \cos \alpha=\sigma \cos ^{2}\alpha$
切应力：$\tau_{\alpha}=p_{\alpha} \sin \alpha =\sigma \sin \alpha \cos \alpha$

正负号：
$\alpha$：从横截面的法线到斜截面的法线，逆时针为正，顺时针为负
$\sigma_{alpha}$：拉应力为正，压应力为负
$\tau_{alpha}$：绕所保留的截面，顺时针为正，逆时针为负

$\sigma_{max}$发生在横截面上 $\sigma_{max}=\sigma$
$\tau_{max}$发生在$\alpha=45^{\circ}$斜截面上 $\tau_{max}=\frac{\sigma}{2}$

1.4材料在拉伸时候的力学性能

试件：标距$l$、直径$d$
(a)圆截面标准试件：$l=10d$ 10倍试件 $l=5d$ 5倍试件

(b)矩形截面标准试件（截面积$A$）:$l=11.3\sqrt{A}$ $l=5.65\sqrt{A}$

1.4.1$\sigma - \varepsilon$曲线

1.弹性阶段（ob段）
oa段：
比例极限$\sigma _{P}$、弹性模量$E(Gpa)$
当$\sigma < \sigma_{P}$时，胡克定律$\sigma =E \ \varepsilon$成立
ab段：
不再是直线，单卸载后变形可以完全恢复
弹性极限$\sigma_{e}$：应力超过$\sigma_{e}$，会产生塑性变形

2.屈服阶段（bc段）
屈服极限$\sigma_{s}$：强度的重要指标

3.强化阶段（ce段）
强度极限$\sigma_{b}$：强度的另一重要指标

4.局部变形阶段（ef段）
发生颈缩现象，名义应力$\sigma = \frac{P}{A}$下降

延伸率：$\delta=\frac{l_{1}-l}{l}\times 100 \%$

$l$为试件标线间的标距，$l_{1}$为试件拉断后的标线间长度
塑性材料：$\delta > 5 \%$，脆性材料：$\delta < 5 \%$

断面收缩率：$\psi=\frac{A-A_{1}}{A} \times 100 \%$

$A$为试件原横截面面积，$A_{1}$为试件拉断后颈缩处的最小截面积

1.4.2名义屈服极限$\sigma_{P0.2}$

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用产生0.002塑性应变时的应力作屈服指标

脆性材料抗拉强度和抗压强度相同、脆性材料抗压强度远大于抗拉强度

1.4.3卸载定律和冷作硬化

d点的应力数值远高于c点的应力数值，比例极限有所提高；断裂时的塑性变形降低，这种现象成为应变硬化

1.5失效、安全系数和强度计算

1.5.1失效

强度失效——断裂或屈服
刚度失效——过量的弹性变形
屈曲失效——突然失去平衡状态
疲劳失效、蠕变失效、松弛失效

失效判据
塑性材料：屈服极限$\sigma_{s}$
脆性材料：受拉/压：强度极限$\sigma_{b拉}/\sigma_{b压}$

1.5.2安全系数

塑性材料：$[\sigma]=\frac{\sigma_{s}}{n_{s}}\quad n_{s}=1.2 \thicksim 2.5$
脆性材料：$[\sigma]=\frac{\sigma_{b}}{n_{b}}\quad n_{b}=2 \thicksim 3.5$

1.5.3强度计算

\[\sigma_{max}=(\frac{F_{N}}{A})_{max} \le[\sigma] \]

1.6轴向拉压的变形

1.6.1轴向变形

轴向变形量：$\Delta l=l_{1}-l$，应变$\varepsilon=\frac{\Delta l}{l}$，应力应变关系$\sigma = E \varepsilon$，可以得到

\[\Delta l=\frac{Fl}{EA} \]

抗拉/抗压刚度：$EA$

1.6.2横向变形

横向变形量$\Delta b=b_{1}-b$，应变$\varepsilon'=\frac{\Delta b}{b}$
泊松比/横向变形系数$\varepsilon'=-\mu \varepsilon$

1.6.3变截面杆的轴向变形

\[\Delta l=\int_{l} \frac{F_{N}(x)dx}{EA(x)} \]

1.6.4变形能

\[dW=Fs=\int_{0}^{\varepsilon_{1}}\sigma dydz \times d\varepsilon dx = (\int_{0}^{\varepsilon_{1}}\sigma d\varepsilon)dV \]

\[v_{\varepsilon}=\frac{dW}{dV}=\int_{0}^{\varepsilon_{1}}\sigma d\varepsilon=\frac{1}{2}\sigma \varepsilon \]

\[V_{\varepsilon}=v_{\varepsilon}V=\frac{\sigma^{2}}{2E}V=\frac{F_{N}^{2}l}{2EA} \]

\[W=\frac{1}{2}F \Delta l=\sum_{i=1}^{n}\frac{F_{Ni}^{2}l_{i}}{2E_{i}A_{i}} \]

1.7超静定问题

静定问题：未知力个数=独立的平衡方程数
静不定问题：未知力个数>独立的平衡方程数
静不定次数：未知力个数-独立的平衡方程数
多余约束：保持结构静定多余的约束

联立
静力学方程——力的平衡关系
几何方程（变形协调方程）——变量为位移或应变
物理方程——载荷与位移或应力与应变的关系

1.8温度应力与装配应力

温度应力：由于温度变化引起的应力，仅存在于静不定结构中
温度引起的变形$\Delta l_{T}=\alpha \Delta T · l$
$\alpha$为材料的线膨胀系数

装配应力：由于加工时的尺寸误差，造成装配后的结构存在应力，进村在于静不定结构

1.9应力集中

几何形状不连续处的应力分布不在均匀，局部应力远大于平均值
应力集中因数$k=\frac{\sigma_{max}}{\sigma}$

2.剪切

2.1剪切的概念及其计算

受力特征：作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线相距很近
变形特征：杆件沿两力之间的截面发生错动，直至破坏

单剪与双剪

假设切应力在整个剪切面上均匀分布
切应力

\[\tau = \frac{F_{Q}}{A} \]

剪切强度条件

\[\tau = \frac{F_{Q}}{A} \le [\tau] \]

2.2挤压的概念及其计算

挤压：连接件和被连接件在接触面上相互压紧的现象
接触面上由于挤压力太大而产生塑性变形，形成的破坏称挤压破坏

有效挤压面面积

平面接触（如平键）：挤压面面积等于实际的承压面积
柱面接触（如铆钉）：有效挤压面面积为实际挤压面面积在其直径平面上的投影

挤压强度条件（$[\sigma _{bs}]$名义许用挤压应力，由试验测定）

\[\sigma _{bs}=\frac{F_{b}}{A_{bs}} \le [\sigma _{bs}] \]

许用挤压应力通常大于许用应力
塑性材料：$[\sigma _{bs}]=(1.5-2.5)[\sigma]$
脆性材料：$[\sigma _{bs}]=(0.9-1.5)[\sigma]$

2.3纯剪切

围绕受力物体内一点截取一边长为无限小的正立方体，以表示几何上的一点，若单元体各个面上只承受切应力而没有正应力称为纯剪切

剪切胡克定律

实验证明：当切应力不超过材料的比例极限$\tau_{p}$时，切应力$\tau$与切应变$\gamma$成正比

\[\tau=G \gamma \]

其中$G$是材料的切变弹性模量，有

\[G=\frac{E}{2(1+\mu)} \]

3.扭转

构件特征：等圆截面直杆——圆轴
受力特征：杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶
变形特征：杆各横截面绕轴线发生相对转动

3.1获得外加力偶矩

通过转速和功率得到外加力偶矩

\[P=\frac{W}{t}=\frac{M·s}{t}=M·\omega=M·\frac{2\pi n}{60} \]

P：功率（kW）
s：角位移

\[M=\frac{60P(kW)}{2\pi n(r/min)}=9.549\frac{P}{n}(kN·m) \]

3.2杆受扭的内力计算

应用截面法确定横截面上的扭矩
圆轴两端受外加扭力矩$M_{e}$作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩，称为扭矩，用$M_{x}$表示

正负号规则：扭矩矢量与所在横截面的外法线方向一致时，扭矩为正，反之为负

扭矩图

确定约束力偶（必要时）
根据外加力偶以及约束力偶，确定控制面
应用截面法，建立平衡方程，确定控制面上的扭矩
建立$M_{x}-x$坐标系

3.3圆轴扭转的应力和变形

3.3.1平面假设

圆轴的横截面变形后保持为平面，圆轴上端截面上所绘的径向线保持直线

3.3.2变形协调方程

设圆轴内部到轴线任意远$\rho$处的剪应变为$\gamma (\rho)$，则有几何关系

\[\gamma(\rho)=\rho \frac{d \varphi}{dx} \]

3.3.3剪切胡克定律$\tau=G\gamma$

\[\tau=G\gamma=G\rho \frac{d\varphi}{dx} \]

3.3.4静力平衡方程

取环向微面积$dA$：

\[\int_{A}\rho \tau_{\rho}dA=M_{x} \]

\[G\frac{d\varphi}{dx}\int_{A}\rho^{2}dA=M_{x} \]

\[令I_{P}=\int_{A}\rho^{2}dA \]

\[\frac{d\varphi}{dx}=\frac{M_{x}}{GI_{P}} \]

$GI_{P}$：扭转刚度
$I_{P}$：极惯性矩

3.3.5剪应力表达式

\[\tau_{\rho}=G\rho \frac{d\varphi}{dx}=\frac{M_{x}\rho}{I_{p}} \]

\[\rho=R,\quad \tau_{max}=\frac{M_{x}R}{I_{P}}=\frac{M_{x}}{W_{P}} \quad W_{P}=\frac{I_{P}}{R} \]

$W_{P}$：抗扭截面模量

材料形状	$I_{p}$	$W_{p}$
实心圆截面	$\frac{\pi}{32}D^{4}$	$\frac{\pi}{16}D^{3}$
空心圆截面 $\alpha=\frac{d}{D}$	$\frac{\pi}{32}D^{4}(1-\alpha^{4})$	$\frac{\pi}{16}D^{3}(1-\alpha^{4})$
薄壁圆筒	$\frac{\pi}{4}D_{0}^{3}t$

3.4圆轴的强度条件和刚度条件

3.4.1强度条件（最大剪应力$\tau_{max}$限制在一定数值下）

\[\tau_{max}=\frac{M_{x,max}}{W_{P}} \le [\tau]=\frac{\tau_{u}(扭转极限应力)}{n(安全系数)} \]

$\tau_{max}$是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者

3.4.2刚度条件

相对扭转角

单位扭转角/单位长度的相对扭转角

\[\theta = \frac{d \varphi}{dx}=\frac{M_{x}}{GI_{p}} \le [\theta] \]

$[\theta]$为许用相对扭转角

3.5圆轴扭转时斜截面上的应力

剪应力互等原理：$\tau =\tau'$

斜截面上的正应力和切应力：

\[\sigma_{\alpha}=-\tau \sin 2\alpha ,\quad \tau_{\alpha}=\tau \cos 2\alpha \]

分别考虑正应力和剪应力取到最大值的$\alpha$的度数，有结论：
若抗剪切能力差，扭转时构件沿横截面发生破坏（塑性材料）
若抗拉能力差，扭转时构件沿45度斜截面发生破坏（脆性材料）

3.6扭转超静定问题

建立静力平衡方程
由变形协调条件建立变形协调方程
应用扭矩与相对扭转角之间的物理关系带入变形协调方程，得到补充方程
联立补充方程和静力平衡方程

3.7扭转形变能

（仅做了解，之后再整理）

3.6非圆截面杆的扭转

（仅做了解，之后再整理）

4.弯曲内力

4.1梁的内力素：剪力和弯矩

在外力作用下，梁的横截面上将产生剪力和弯矩，用截面法求解剪力和弯矩大小及方向

正负规则
剪力$F_{Q}$：对分离体内一点产生顺时针力矩的剪力为正，反之为负
弯矩$M$：使截开的横截面下边受拉，上边受压的弯矩为正

4.2剪力/弯矩方程/图

4.3弯矩、剪力和分布载荷集度之间的关系

4.4平面钢架内力图

无需建立坐标系
控制面、平衡微分方程
轴力、剪力画在里侧和外侧均可，但需要标出正负号
弯矩的数值标在受压的一侧
注意节点处的平衡关系

附录-平面图形的几何性质

1.静矩（关于面的一次矩）

图形上各微分面积与它到某轴的距离乘积的总和

$$ A·y_{c}=S_{z}=\int_{A}ydA $$ 图形对z轴的静矩

过截面形心的轴称为形心轴

2.惯性矩（关于面的二次矩）

图形上各微分面积与它到某轴的距离的平方乘积的总和

$$ I_{z}=\int_{A}y^{2}dA $$ 图形对z轴的惯矩惯性半径$i_{y}=\sqrt{\frac{I_{y}}{A}}$

3.极惯性矩

图形上各微分面积与它到某点（极点）的距离平方乘积总和

$$ I_{P}=\int_{A}\rho^{2}dA=I_{z}+I_{y} $$ 图形对o点的极惯性矩

4.惯性积

图形上各微分面积与它到一堆正交轴的距离的连乘积总和

$$ I_{yz}=\int_{A}yzdA $$ 坐标轴之一为图形对称轴时：$I_{yz}=0$ 若$I_{yz}=0$，则$y,z$轴称为**主惯性轴（主轴）**

5.形心主惯性矩

图形对于通过其形心的主轴的惯性矩

6.平行移轴公式

$$ I_{y_{1}}=I_{y}+b^{2}A $$ $$ I_{z_{1}}=I_{z}+a^{2}A $$ $$ I_{y_{1}z_{1}}=I_{yz}+abA $$ 形心的惯性矩最小

7.转轴公式

$$ I_{y_{1}}=\frac{I_{y}+I_{z}}{2}+\frac{I_{y}-I_{z}}{2}\cos 2\alpha -I_{yz} \sin 2\alpha $$ $$ I_{z_{1}}=\frac{I_{y}+I_{z}}{2}-\frac{I_{y}-I_{z}}{2}\cos 2\alpha +I_{yz} \sin 2\alpha $$ $$ I_{y_{1}z_{1}}=\frac{I_{y}-I_{z}}{2}\sin 2\alpha +I_{yz} \cos 2\alpha $$

惯性积为0的一对坐标轴为过这一点的主轴，主轴总是成对出现
主轴位置$I_{y_{0}z_{0}}=0$有转角$\alpha_{0}$，则$\tan 2\alpha_{0}=-\frac{2I_{yz}}{I_{y}-I_{z}}$
此时$I_{y_{0}}、I_{z_{0}}$取到极值

8.判断主轴

截面图形对某点有一对以上不相重合的主惯轴，则所有通过该点的轴都是主惯轴
当截面图形过某点的一对主惯轴的惯矩相等，则过该点的轴都是主惯轴，且其主惯性矩均相等
任何具有三个或三个以上对称轴的截面图形，它所有的形心轴都是主惯轴，且惯矩相等

5.弯曲应力

5.1纯弯曲梁横截面正应力

对称面：梁的横截面具有对称轴，所有相同的对称轴组成的平面
主轴平面：梁的横截面不是轴对称图形，但是有通过横截面形心的形心主轴，所有相同的形心主轴组成的平面
（对称面一定是主轴平面，主轴平面不一定是对称面）

平面弯曲：所有外力和力偶都作用于梁的同一主轴平面内时，梁的轴线将弯曲成平面曲线，这一曲线在外力作用平面内，除此弯曲外都是非平面弯曲

纯弯曲：平面弯曲时，横截面上只有弯矩而无剪力
横力弯曲：既有弯矩又有剪力

中性层/面：弯曲后，既不伸长也不缩短的平面
中性轴：中性层与梁的横截面的交线

平面弯曲的变形假设

各横向线相对转过了一个角度，仍保持为直线
变形后横向线扔与纵向弧线在面内垂直
平面截面假设：横截面仍为平面，只是转过了某一角度
无泊松效应：截面形状不发生改变
纵向纤维假设：纵向纤维组成梁且之间无挤压

5.1.1变形几何与物理关系

$$ \varepsilon=\frac{b'b'}{bb}=\frac{(\rho+y)d\theta -\rho d\theta}{\rho d\theta}=\frac{y}{\rho} $$ $$ \sigma = E =\varepsilon \to \sigma =E \frac{y}{\rho} $$

5.1.2变形静力学关系

\[F_{N}=\int_{A}\sigma dA=0 \quad M_{iy}=\int_{A}z\sigma dA=0 \quad M_{iz}=\int_{A}y\sigma dA=M \]

\[M=\int_{A}E\frac{y}{\rho}·ydA=\frac{E}{\rho}\int_{A}y^{2}dA=\frac{y}{\rho}I_{z} \]

\[\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI_{z}}（挠曲轴的曲率方程，EI_{z}为抗弯刚度） \]

\[\sigma =\frac{My}{I_{z}}（纯弯曲时的正应力公式） \]

纯弯曲横截面的最大正应力

\[\sigma _{max}=\frac{My_{max}}{I_{z}}=\frac{M}{W_{z}} \]

\[W_{z}=\frac{I_{z}}{y_{max}}（截面的抗弯截面系数） \]

5.1.3强度设计

\[最大正应力：\sigma_{max}=\frac{M_{max}}{W_{z}} \le \frac{\sigma_{s}}{n_{s}}（韧性）/\frac{\sigma_{b}}{n_{b}}（脆性）=[\sigma] \]

对于拉伸和压缩强度不相等的材料，强度条件可以写成：

\[\sigma_{max}^{+} \le [\sigma]^{+}=\frac{\sigma_{b}^{+}}{n_{b}}（拉伸许用应力） \]

\[\sigma_{max}^{-} \le [\sigma]^{-}=\frac{\sigma_{b}^{-}}{n_{b}}（压缩许用应力） \]

5.1.4提高强度的一些措施

合理安排载荷和支承的位置，降低$M_{max}$值
增加支座，减小跨度
载荷尽量靠近支座，将集中力分解为分力或者均布力
选择合理截面，提高$W_{z}$

5. 在中性轴附近开孔降低重量 6. 塑性材料宜采用中性轴为对称轴的截面，脆性材料宜采用中性轴为非对称轴的截面

5.2弯曲切应力

横力弯曲时，横截面上有正应力也有切应力
在有切应力的情况下，弯曲正应力公式依然成立

分布假设

各点切应力方向平行于剪力$F_{s}$
切应力沿宽度均匀分布

5.2.1弯曲切应力公式推导

$x$方向的平衡条件：$\sum F_{x}=0 \quad \to \quad F_{N2}-F_{N1}-dF_{S}'=0$
右截面上的正应力：$\sigma = \frac{(M+dM)y_{1}}{I_{z}}$ $$ F_{N2}=\int_{A_{1}} \frac{(M+dM)y_{1}}{I_{z}}dA =\frac{M+dM}{I_{z}}\int_{A_{1}}y_{1}dA =\frac{M+dM}{I_{z}}S_{z}^{*} $$ $$ F_{N1}=\frac{M}{I_{z}}S_{z}^{*} $$ $$ dF_{S}'=\tau 'bdx $$

带入可得：

\[\tau '=\frac{dM}{dx} · \frac{S_{z}^{*}}{I_{z}b}=\frac{F_{S}S_{z}^{*}}{I_{z}b}=\tau （儒拉夫斯基公式） \]

$\tau$：截面上距中性轴$y$处的切应力
$S_{z}^{*}：y$以外面积对中性轴的静矩
$I_{z}$：整个截面对中性轴的惯性矩
$b：y$处的宽度

误差分析：切应力沿截面宽度方向分布往往是不均匀的，宽度越大，误差越大
强度条件$[\tau]（限制最大值）$：等宽度最大值在中性轴上，宽度变化的不一定在中性轴上
量级比较：细长梁拉压远大于剪切，需要校核剪切强度的几种情况

弯矩较小而剪力很大：短粗梁
非标准的腹板，较高且薄的工字梁
梁上的焊缝，铆钉，胶合面
各向异性材料（木材）的抗剪能力较差

5.2.2薄壁构件弯曲特有现象（剪力流）

梁发生横向弯曲时，产生弯曲变形，还会产生扭转

合力简化成一个力矩，该点称为弯曲中心

6.弯曲变形

6.1梁的变形弯曲

挠度曲线：在平面弯曲下，梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线

挠度$w$：横截面形心处的铅锤位移
转角$\theta$：横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度
轴向位移/水平位移$u$：横截面形心沿水平方向的位移

6.2梁的小挠度微分方程及积分

挠度方程：$w=w(x)$

\[\frac{dw}{dx}=\tan \theta \overset{小角度} \approx \theta \]

\[\frac{M}{EI}=\frac{1}{\rho}=\frac{|\frac{d^{2}w}{dx^{2}}|}{[1+(\frac{dw}{dx})^{2}]^{\frac{3}{2}}} \overset{小挠度 \ (\frac{dw}{dx})^{2} << 1} \approx |\frac{d^{2}w}{dx^{2}}| \]

此处采用向上的$w$坐标系，得到$\frac{d^{2}w}{dx^{2}}=\frac{M}{EI}$

积分一次得到转角方程：

\[\frac{dw}{dx}=\theta =\int_{l}\frac{M(x)}{EI}dx+C \]

积分二次得到挠曲线方程：

\[w=\int_{l}(\int_{l}\frac{M(x)}{EI}dx)dx+Cx+D \]

积分常数的确定

在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件挠度等于0：$w=0$
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于0：$w=0 \ ,\ \theta =0
如果梁上的载荷不连续，要分段建立弯矩方程，而挠度曲线是光滑连续的，则$w(x)$与$\theta (x)$连续

解题Tip：

确定约束力，判断是否要分段以及分几段
分段写出弯矩方程
分段建立挠度微分方程
微分方程的积分
利用约束条件和连续条件确定积分常数
确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角

6.3叠加法确定挠度与转角

当量上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果

对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法

逐段钢化法（另一种形式），将梁分成几段，在计算其中一段变形时，把另外部分看做刚体，被钢化的梁段只有刚体位移而无变形

6.4梁的刚度设计

\[w_{max} \le [w] \quad , \quad \theta _{max} \le [\theta] \]

6.5简单的静不定梁

列出平衡方程
列出变形协调方程
列出物理性质关系
联立求解

7.压杆稳定

7.1两端铰支细长压杆的临界压力

弯矩有：

\[M=-Fw \]

\[\frac{d^{2}w}{dx^{2}}=\frac{M}{EI}=-\frac{Fw}{EI} \]

这是一个经典的微分方程$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+k^{2}y=0$，不难得到欧拉公式：

\[F_{cr} \overset{n=1} =\frac{\pi^{2}EI}{L^{2}} \]

7.2欧拉公式的普遍形式

\[F_{cr} =\frac{\pi^{2}EI}{(\mu l)^{2}} \]

压杆的约束条件	长度系数
两端铰支	$\mu =1$
一端固支一端自由	$\mu =2$
两端固支	$\mu =0.5$
一端固支一段铰支	$\mu =0.7$

7.3欧拉公式的适用范围经验公式

7.3.1临界应力与长细比

将惯性矩写成$I=i^{2}A$，其中$i$为惯性半径

\[临界应力：\sigma_{cr}=\frac{F_{cr}}{A}=\frac{\pi^{2}EI}{(\mu l)^{2}A}=\frac{\pi^{2}E}{(\frac{\mu l}{i})^{2}} \]

\[柔度（长细比）\lambda=\frac{\mu l}{i} \]

\[\sigma_{cr}=\frac{\pi^{2} E}{\lambda^{2}} \le \sigma_{p} \to \lambda \ge \sqrt{\frac{\pi^{2}E}{\sigma_{p}}} \]

我们记$\lambda_{1}=\sqrt{\frac{\pi^{2}E}{\sigma_{p}}}$，则欧拉公式成立的条件为：$\lambda \ge \lambda_{1}$

7.3.2经验公式

当$\sigma_{cr} > \sigma_{p}$时，欧拉公式不成立，使用经验公式

直线经验公式：$\sigma_{cr}=a-b\lambda$，其中$a,b$是与材料有关的常数

对于直线经验公式，临界压力有：$\sigma_{cr} \le \sigma_{s}$
有$\lambda_{2}$满足$a-b\lambda_{2}=\sigma_{s}$
直线经验公式的适用范围：$\lambda_{2} \le \lambda \le \lambda_{1}$

另外还有抛物线公式；$\sigma_{cr}=a_{1}=b_{1}\lambda^{2}$
同样，$a_{1},b_{1}$都是与材料性质有关的常数

7.3.3总结一下

7.4压杆的稳定校核

\[n（工作安全系数）=\frac{F_{cr}}{F} \ge n_{st}（稳定安全系数） \]

稳定安全系数取值$2-5$，有时候可达$8-10$

稳定校核问题

计算$\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda$
确定杆件类型（大柔度/中柔度/小柔度）
根据杆的类型求出$\sigma_{cr},F_{cr}$
计算杆受到的实际压力$F$
校核工作安全系数和稳定安全系数

确定许可载荷
前三部同上
4. $F \le \frac{F_{cr}}{n_{st}}$

截面设计问题

计算实际压力
求出临界压力$F_{cr}=n_{st}F$
先假设为大柔度杆，由欧拉公式求出$I$，进一步求出直径和柔度
计算$\lambda_{1},\lambda_{2}$
检验$\lambda \ge \lambda_{1}$是否成立，若成立则结束
若不成立，则设为中柔度杆，按照经验公式求出直径，计算$\lambda_{2}$
检验$\lambda \ge \lambda_{2}$是否成立，成立则结束

7.5提高压杆稳定性的措施

选择合理的截面形状（截面的面积离形心轴远），惯性矩小的方向先失稳
加强约束减小$\mu$的值
选择材料，大柔度杆选择$E$大的材料，中柔度杆提高$\sigma_{cr}$

8.应力状态

过一点的所有方向面上的应力集合，称为该点的应力状态

\[\begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{y} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{z} \end{bmatrix} \]

8.1任意方向面上的应力

\[\sigma_{theta}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\cos 2\theta -\tau_{xy}\sin 2\theta \]

\[\tau_{\theta}=\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\sin 2\theta +\tau_{xy}\cos 2\theta \]

8.2主应力与最大剪应力

剪应力$\tau_{\theta}=0$的方向面称为主平面，主平面发现方向即主应力作用线方向，称为主方向，方向角用$\theta_{p}$表示，主平面上的正应力称为主应力

\[\tan 2\theta_{p}=-\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_{x}-\sigma_{y}} \]

过一点某一组方向面上正应力的极值——$\sigma_{max}，\sigma_{min}$

$\sigma_{max}$和$\sigma_{min}$所在的平面就是主平面，也就是切应力为零的面

根据剪应力成对定理，$\theta = \theta_{p}+\frac{\pi}{2}$也是主平面

而在立方体上，平行于xy坐标面的平面上没有正应力和剪应力，这个平面也是主平面

三个主应力

\[\sigma'=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+4\tau_{xy}^{2}} \]

\[\sigma''=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+4\tau_{xy}^{2}} \]

\[\sigma'''=0 \]

按三个主应力代数值由大到小顺序排序，表示为：

\[\sigma_{1}>\sigma_{2}>\sigma_{3} \]

主应力应用——梁内最大主应力和主应力迹线

8.3面内最大剪应力

\[\tau_{\theta}=\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\sin 2\theta +\tau_{xy}\cos 2\theta \]

另一特征角

\[\tan 2\theta_{s}=-\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2\tau_{xy}} \]

此时

\[\tau'=\pm \frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+4\tau_{xy}^{2}} \]

8.4应力圆

由$\sigma_{\theta}$和$\tau_{\theta}$的等式可以推出

\[(\sigma_{\theta}-\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2})^{2}+\tau_{\theta}^{2}=[\frac{1}{2}\sqrt{(\sigma_{x}-\sigma_{y})^{2}+4\tau_{xy}^{2}}]^{2} \]

则在以$\sigma_{\theta}$为横轴，$\tau_{\theta}$为纵轴的坐标系中，这是一个圆方程

应力圆画法

点面对应：应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和剪应力
转向对应：半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致
二倍角对应：半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍

应力圆应用：

确定主屏面，剪应力为零的平面，应力圆与横轴交点对应的面
确定主应力，主平面上的正应力
对应应力圆上的最高点的面上剪应力最大

8.5薄壁内压容器的应力状态

薄壁：假定容器壁钟的内力与表面相切

8.6广义胡克定律

\[\varepsilon_{y}=-\nu \varepsilon_{x}=-\nu \frac{\sigma_{x}}{E} \quad \nu：泊松比 \]

三向应力状态的广义胡克定律

\[E\varepsilon_{x}=\sigma_{x}-\nu (\sigma_{y}+\sigma_{z}) \]

\[E\varepsilon_{y}=\sigma_{y}-\nu (\sigma_{z}+\sigma_{x}) \]

\[E\varepsilon_{z}=\sigma_{z}-\nu (\sigma_{x}+\sigma_{y}) \]

\[G\gamma_{xy}=\tau_{xy} \]

\[G\gamma_{yz}=\tau_{yz} \]

\[G\gamma_{zx}=\tau_{zx} \]

单位体积的体积应变

\[\theta=\frac{V_{1}-V}{V}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}=\frac{3(1-2\nu)}{E}\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}}{3}=\frac{\bar{\sigma}}{K} \]

8.7应变能与其密度

\[应变能密度\nu =\frac{1}{2}(\sigma_{1}\varepsilon_{1}+\sigma_{2}\varepsilon_{2}+\sigma_{3}\varepsilon_{3}) \]

\[\nu_{v}=\frac{1-2\nu}{6E}(\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3})^{2} \]

\[\nu_{d}=\frac{1+\nu}{6E}[(\sigma_{1}+\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}+\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}+\sigma_{2})^{2}] \]

\[G=\frac{E}{2(1+\nu)} \]

9.一般应力状态下的强度设计准则

9.1脆性断裂的强度设计准则

最大拉应力准则（第一强度理论）：关于无裂纹脆性材料构件的断裂失效的准则，无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，其共同原因都是由于微元内的最大拉应力达到了简单拉伸时的破坏应力

局限性

未考虑另外两个主应力的影响
对受压的应力状态无法解释
对塑性材料的破坏无法解释
无法解释三向均压的时候，既不屈服也不破坏的现象

最大拉应变准则（第二强度理论）：无论材料处于什么应力状态，只要发生脆性断裂，都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变

实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合

局限性

第一强度理论不能解决的问题未能解决
在二向或三向受拉的时候，与实验结果相反

9.2关于屈服的强度设计准则

最大剪应力准则（第三强度理论）：无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服，都是由于微元内的最大切应力达到了极限值

对塑性材料的屈服破坏解释较好，并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实

局限性

未考虑$\sigma_{2}$的影响
不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象
不适用于脆性材料的破坏

畸变能密度准则（第四强度理论）：无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服或剪断，都是由于微元内的畸变能密度达到了某个共同的极限值

莫尔强度准则：以各种状态下的材料破坏实验结果为依据的经验性准则。考虑拉压强度不等的情况，可同时应用于脆性和塑性材料

注意强度设计的全过程，参考书本例题10-1,10-2

10.组合变形

基本方法（叠加法）：
将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变形下的内力和应力

外力分解和简化
内力分析-确定危险面
应力分析

偏心拉压中的截面核心：当偏心力作用在界面上的一定区域内时，在截面上只引起一种性质的应力，此区域成为截面核心

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2025.5.26 23:09完成第一版

posted @ 2025-05-24 12:26 槭枫阅读(517) 评论(0) 收藏举报

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材料形状	\(I_{p}\)	\(W_{p}\)
实心圆截面	\(\frac{\pi}{32}D^{4}\)	\(\frac{\pi}{16}D^{3}\)
空心圆截面 \(\alpha=\frac{d}{D}\)	\(\frac{\pi}{32}D^{4}(1-\alpha^{4})\)	\(\frac{\pi}{16}D^{3}(1-\alpha^{4})\)
薄壁圆筒	\(\frac{\pi}{4}D_{0}^{3}t\)

压杆的约束条件	长度系数
两端铰支	\(\mu =1\)
一端固支一端自由	\(\mu =2\)
两端固支	\(\mu =0.5\)
一端固支一段铰支	\(\mu =0.7\)

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