【概率论】4-5:均值和中值(The Mean and the Median)

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title: 【概率论】4-5:均值和中值(The Mean and the Median)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- Mean
- Median
- Mean Squared Error
- Mean Absolute Error
toc: true
date: 2018-03-25 21:01:04

Abstract: 本文介绍均值和中值的对比，以及最小平方误差，最小绝对误差
Keywords: Mean，Median，Mean Squared Error，Mean Absolute Error

开篇废话

昨天犯了个大错误，google分析配置出错了，所以这两天博客访问一直显示零，所以昨天都很沮丧，生活有时候就这样，一些错误，后果非常让人非常沮丧，我们在面对这些沮丧的结果时的态度能决定我们的所有。
均值是度量分布中心位置的一种方法，中值也是，这就是我们上一篇说到的，关于一个属性的定义，我们现在定义分布的中心位置，就有了两种方法，这两种都能定义中心的合理方法，各有各的优点，也有自己的缺点，所以我们今天就来对比下这两种中心位置的数字特点。

The Median

4.1中介绍过一个分布的的期望，是在随机变量所在的数轴的重心位置，这种角度下，期望是一个中心位置。
另一种就是假设存在某个随机变量 $m_0$ 小于 $m_0$ 对应的概率是 $1/2$ 大于 $m_0$ 的对应概率为 $1/2$ 这从某种意义上说也是一个中心位置。
两个不一样的定义方式，就有两种不同的方法用于不同的问题
最简单的例子就是图像处理里面两种不同的滤波，均值滤波和中值滤波，对应处理的噪声也完全不同。
均值，也就是期望我们已经研究了4篇了，今天我们主要研究一下中值，虽然在c.d.f中有介绍，但是我们还是重新说说。
值得一提的是与均值不同，分布的均值可以有一个或者没有，而中值可以有一个，还可以有很多个，这个我们后面会说到。

Definition Median.Let $X$ be a random varibale.Every number $m$ with the following prperty is called a median of the distribution of $X$:
KaTeX parse error: Expected & or \\ or \cr or \end at position 37: …\leq m)\geq 1/2\̲ ̲\end{aligned} \…

中值的定义如上，还有一种跟奇特的说法和上面是等价的。

Firest,if m is included with the values of X to the left of m,then
$Pr(X\leq m)\geq Pr(X>m)$

seconde ,if m is included with the values of X to the right of m,then
$Pr(X\geq m)\geq Pr(X<m)$

If there is a number $m$ such that $Pr(X < m)=Pr(X > m)$ ,that is,if the number $m$ does actually divide the total Probability into two equal parts,then $m$ will of course be a median of the distribution of $X$

两种定义中值的方法得到一样的结果。值得注意的就是一点，中值可能不止一个，当中值不止一个的时候我们这里选用最小的作为中值，当然，也可以选中间的，或者最大的，这取决于你自己的需求。

文章写到这里，书上开始写🌰，目测有一斤🌰 。例子的核心就是中值不一定只有一个。

Comparison of the Mean and the median

最重要的一个区别就是期望有些分布是没有的，但是中值绝对存在，而且有很多时候还不止一个。所以对于某些应用中值的稳定性更好，最简单的例子就是我们伟大祖国各个城市的平均收入贼高，但是你和周围的小伙伴总发现自己拖后腿，那么这时候平均值可能真的不能反映实际的情况，需要用中值，如果你的工资连中值都没到，说明你确实不行，你说你比不过马云马化腾我们理解，你连你隔壁都不如，那就是你的问题了。
下面定义一个双射函数，这个证明我不写了，书上有，但是我觉得不完美，因为我马上要在数学分析那个系列里面讲这个情况，所以这里只给出定理，着急的小伙伴就自己查查资料，不着急的，等我数学分析。

Theorem One-to-One Function.Let $X$ be a random variable that takes values in an interval $I$ of real numbers.Let $r$ be a one-to-one function defined on the interval $I$.If $m$ is a median of $X$ ,then $r(m)$ is a median of $r(X)$

其实用到的主要特性是双射函数的可逆性质，换句话说就是能找到反函数。

接下来我们开始进入到很贴近应用的部分了。

以上为节选，完整原文地址：https://www.face2ai.com/Math-Probability-4-5-The-Mean-and-the-Median转载请标明出处