【概率论】5-6:正态分布(The Normal Distributions Part II)

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title: 【概率论】5-6:正态分布(The Normal Distributions Part II)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- The Normal Distributions
toc: true
date: 2018-03-29 15:02:03

Abstract: 本文介绍正态分布的数学性质
Keywords: The Normal Distributions

开篇废话

一共要写四篇，哪来那么多废话。
首先我们要从最基础的原始的正态分布的数学原理说起

Properties of Normal Distributions

Definition

到目前为止，我们还没看到正态分布长什么样。

Definition and p.d.f. A random X has the normal distribution with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$ ($-\infty<\mu<\infty$ and $\sigma > 0$) if X has a contimuous distribution with the following p.d.f.
$f(x|\mu,\sigma^2)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{1}{2}}\sigma}e^{-\frac{1}{2}(\frac{(x-\mu)}{\sigma})^2}\text{for} -\infty<x<\infty$
定义对于我们来说就是个准确的命名过程。那么我们接下来要证明的是定义里说的对不对？
Theorem $f(x|\mu,\sigma^2)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{1}{2}}\sigma}e^{-\frac{1}{2}(\frac{(x-\mu)}{\sigma})^2}\text{for} -\infty < x< \infty$ is a p.d.f.

思路：证明一个表达式是不是，p.d.f.，肯定要根据p.d.f.的定义，①不能出现负数，②积分结果是1。
首先观察函数，发现其不可能出现负数，所以性质1符合p.d.f.的性质
那么接下来是求积分，并确保是1，不是说不能积分么，这里怎么做呢？
首先我们令 $y=\frac{x-\mu}{\sigma}$ 那么
$\int^{\infty}_{-\infty}f(x|\mu,\sigma^2)dx=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy\\ \text{we shall now let:}\\ I=\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy$
所以我们只要证明 $I=(2\pi)^{1/2}$ 就算是得到结论了，但是怎么证明呢？我们用用1的特点吧，1和1相乘还是1所以我们让两个积分相乘，我们来到了二重积分的世界解决这个问题：
$\begin {aligned} I^2&=I\times I=\int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac{1}{2}y^2}dy \cdot \int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac{1}{2}z^2}dz\\ &=\int^{\infty}_{-\infty} \int^{\infty}_{-\infty}e^{-\frac{1}{2}(y^2+z^2)}dydz\\ \text{to the polar coordinates } r \text{ and } \theta :\\ I^2&=\int^{2\pi}_{0} \int^{\infty}_{0}e^{-\frac{1}{2}(r^2)}rdrd\theta \\ \text{substitute }v=r^2/2\\ &\int^{\infty}_{0}e^{-v}dv=1 \end{aligned}$

证毕。
也就证明了两个这个积分相乘的结果是1，但是我们并没有求出他的反函数。

m.g.f.

m.g.f. 一旦得到相应的均值和方差就非常简单了。

Theorem Moment Generating Function.The m.g.f. of the distribution with p.d.f. given by upside is
$\begin{aligned} \psi(t)&=e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2}&\text{ for }-\infty<t<\infty \end{aligned}$

证明上面定理的唯一办法就是我们求一下正态分布定义中那个p.d.f.的m.g.f.看结果是否一致。
$\begin{aligned} \psi(t)&=E(e^{tX})=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}e^{tx-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ \text{square inside the brackets:}\\ tx-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}&=\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2-\frac{[x-(\mu+\sigma^2t)]^2}{2\sigma^2}\\ \text{Therefore:}\\ \psi(t)&=Ce^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\\ \text{where: }\\ C&=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{(2\pi)^{1/2}\sigma}e^{-\frac{[x-(\mu+\sigma^2t)]^2}{2\sigma^2}}dx \end{aligned}$
然后我们用 $\mu+\sigma^2t$ 替换掉 $\mu$ 并且 $C=1$ 因此证明了结论的正确性
证毕。

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