学习笔记：AC 自动机
AC 自动机，全称 Aho-Corasick 自动机 (Aho-Corasick Automaton)，简称 ACAM，一般用于解决多模式串匹配问题：给定字典 \(s_1,\cdots,s_n\) 和文本串 \(t\)，求每个 \(s_i\) 在 \(t\) 中的出现次数。
AC 自动机的构建
基础
AC 自动机的构建结合了 Trie 和 KMP 算法：先将所有模式串插入到 Trie 中，然后利用 KMP 算法的思想构建失配指针（fail 指针）。
下面我们将 Trie 上的节点 \(u\) 称为状态，同时我们不区分 \(u\) 和 \(u\) 在 Trie 上表示的字符串。
状态 \(u\) 的 fail 指针 \(fail_u\) 指向状态 \(v\)，其中 \(v\) 是 \(u\) 的在 Trie 中出现的真后缀中最长的一个。这样，当 \(u\) 的下一个字符失配（即当前试图寻找的下一位在 Trie 中没有出现）时，可以通过跳到 \(fail_u\) 来快速进行下一个模式串的匹配。
注意 AC 自动机的 fail 指针与 KMP 中的 next 指针（或者说 \(\pi\) 函数）的异同：
- 相同点：都是失配时用于快速跳转的指针；
- 不同点：\(nxt_i\)（或 \(\pi(i)\)）指向最长相等真前后缀（最长 border），而 \(fail_i\) 指向所有模式串的前缀中与 \(i\) 的真后缀相等且最长的一个。
由于 fail 指针一定是往前跳，跳到的节点深度一定小于当前节点，因此我们在 Trie 中 BFS 求 fail 指针。
如果由父亲 \(p\) 通过字符 \(c\) 连接到节点 \(u\)，记为 \(u=tr(p,c)\)。类似于 KMP 算法，考虑如何在 \(p\) 和 \(fail_p\) 的基础上求出 \(fail_u\)。
我们要求 \(fail_u\) 代表的字符串和 \(u\) 的后缀相等且最长，而我们已知 \(fail_p\) 代表的字符串和 \(p\) 的后缀相等且最长，因此尝试令 \(fail_u=tr(fail_p,c)\)，如果 \(fail_p\) 的下一条边没有连出字符 \(c\)，那就退而求其次，用 \(fail(fail_p)\) 去尝试，直到为根节点（代表空串）。
字典图
如果单纯跳 fail 指针，可能会出现跳的次数太多以至于效率降低的情况，通过字典图优化可以解决这一问题。
所谓字典图优化，就是将原来的字典树结构进行扩展，将原本不存在的转移加入。
具体来说，我们的目标是将每个节点 \(i\) 对所有字符 \(c\) 的转移 \(\delta(i,c)\) 处理出来，从而一步跳到下一个转移点。过程如下：
- BFS 建立 AC 自动机，对当前节点 \(i\) 枚举所有字符 \(c\)（假设前面若干层的字典图已经构建完毕）：
- 如果 \(tr(i,c)\) 在 Trie 树中，则令 \(fail_{tr(i,c)}=tr(fail_i,c)\)；
- 否则，令 \(\delta(i,c)=\delta(fail_i,c)\)。
构建 AC 自动机的函数如下：
void build() {
queue<int> q;
for (int i = 0; i < 26; i++)
if (tr[i][0]) q.push(tr[i][0]);
while (!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
for (int i = 0; i < 26; i++) {
if (tr[i][u]) {
fail[tr[i][u]] = tr[i][fail[u]];
q.push(tr[i][u]);
} else {
tr[i][u] = tr[i][fail[u]];
}
}
}
return;
}
形式化地，设 \(Q\) 为 Trie 树上所有状态的集合，根节点 \(0\in Q\) 表示空串，构造字典图的 AC 自动机的 *转移函数**如下：
AC 自动机的接受状态集合 \(F\)，即为向 Trie 中插入单词时最后的节点（称为终止节点）构成的集合。
AC 自动机的 fail 树（to do）
AC 自动机的 fail 指针对应的边 \((i,fail_i)\) 构成了一棵有根树，可以对其进行各种树上操作，从而解决一些问题。
根据定义，\(p\) 是 \(q\) 的祖先，当且仅当 \(p\) 代表的字符串 \(t_p\) 是 \(q\) 代表的字符串 \(t_q\) 的后缀。
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