CodeForces-1183F Topforces Strikes Back

*CodeForces-1183F Topforces Strikes Back

tag: *2100；思维题，贪心

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，从中选出 最多 三个数，满足其中任两个之间没有倍数关系。求这三个数之和的最大值。

\(1\le n,q,\sum n\le2\cdot10^5\)，\(2\le a_i\le2\cdot10^5\)。

首先将 \(a\) 排序去重，不影响结果。

选一个数的情况是平凡的，先考虑选两个数 \(x,y\) 的情况。不妨设 \(x<y\)。

注意到，如果 \(x,y\) 之间有倍数关系，那么一定有 \(x\le y/2\)，即 \(x\) 可以等于 \(y/2,y/3,\cdots\) 等等。

结论：\(y=A\)。

证明：设 \(A=\max a\)。如果选出的数为 \(x,y\) 且 \(y\ne A\)：

• 如果 \(x,y\) 中没有 \(A\) 的因数，则把 \(x\) 换成 \(A\)。
• 如果 \(x,y\) 中有一个数是 \(A\) 的因数，则把这个数换成 \(A\)。
• 如果 \(x,y\) 都是 \(A\) 的因数，则 \(x+y\le\dfrac A2+\dfrac A3<A\)，还不如只选 \(A\)。

再考虑三个数的情况。类似地，设选出的数为 \(x<y<z\)。

结论：(i) \(z=A\)，或 (ii) \((z,y,z)=\left(\dfrac A2,\dfrac A3,\dfrac A5\right)\)。证明与上面类似。

讨论这两种情况取 max。对于情况 (i)，选 \(z=A\) 之后把 \(A\) 的所有因数去掉，再按选两个数的方法选 \(x,y\) 即可。

Submission #344419061 - Codeforces