学习笔记：线性基
线性基是一种处理 异或 问题的工具。将每个二进制数看成一个向量，值域为 \(\{0,1\}\)，即向量 \(\alpha_i\in\mathbb F_2^n\)，而向量加法就是模 \(2\) 意义下每个元素的加法，也就是异或。这时，生成 \(\{\alpha_1,\cdots,\alpha_k\}\) 的线性无关组称为 \(\{\alpha_1,\cdots,\alpha_k\}\) 的 线性基。
换句话说，\(S=\{\alpha_1,\cdots,\alpha_k\}\) 的线性基是一个集合 \(B=\{\beta_1,\cdots,\beta_l\}\)，使得对任意 \(S\) 中元素的组合，都能找到 \(S'\) 中元素的组合，使这两个组合异或和相等。
显然，如果值域为 \([0,V)\)，那么线性基的大小不超过 \(\lceil\log_2V\rceil\)。
构造线性基的算法
方法一
将每一个 \(x\in S\) 不断试着插入线性基 \(B\)，如果由现有的线性基可以生成 \(x\)，那么就不用插入，否则插入。
具体来说，枚举 \(x\)，考虑其 最高有效位（最高的非零位）\(i\)，如果线性基中没有第 \(i\) 位为 \(1\) 的，那么插入 \(x\)，否则设 \(b_i\) 为线性基中第 \(i\) 位为 \(1\) 的，令 \(x\gets x\oplus b_i\)（表示想要组成 \(x\) 一定需要 \(b_i\)，还需要的是 \(x\oplus b_i\)），然后继续试着插入 \(x\) 到线性基中。
ull B[55];
void ins(ull x) {
for (int j = 50; ~j; j--) {
if (x >> j & 1) {
if (B[j]) x ^= B[j];
else return B[j] = x, void();
}
}
return;
}
方法二
先直接给出算法：
vector<ull> B;
void ins(ull x) {
for (auto b: B) x = min(x, b ^ x);
if (!x) return; // 插入失败
for (auto &b: B) b = min(b, b ^ x);
B.push_back(x);
return;
}
算法的解释如下：
- 第一个 for：尽量用当前线性基中的数来组成 \(x\)，设执行完 for 循环后 \(x\) 变为 \(x'\)。
- if 语句：如果 \(x'=0\)，说明用当前线性基可以组成 \(x\)，那么 \(x\) 就没必要插入线性基。
- 第二个 for：如果 \(x'\ne0\)，说明用当前的线性基无法组成 \(x\)，现在剩下的 \(x'\) 就是线性基需要的。
为了优化线性基的结构，我们将线性基的每个元素中所有不必要的成分去掉，这类似于高斯消元的「向后步骤」。
比如当前的线性基为 \(\{10111\}\)，而现在要插入的是 \(00110\)，那么我们可以把线性基先变成 \(\{10001\}\)，然后再加入 \(00110\)。
如果要再加入 \(00011\) 的话，就把线性基变成 \(\{10001,00101\}\)，再加入 \(00011\)。
也就是说，如果当前加入的 \(x\) 负责线性基中的更低位，那么负责更高位的那些元素就没有必要包含 \(x\) 负责的更低位。
这样构造出的线性基有一个很好的性质：对于线性基中每一个元素 \(b\) 的最高有效位 \(i\)，不存在线性基中其他元素的第 \(i\) 位也为 \(1\)。
由此，我们可以在 \(O(n\log V)\) 的时间内构造出 \(a_1,\cdots,a_n\) 的线性基，其中 \(V\) 为值域大小。
其他
第二种线性基不使用 vector 的实现：
ull B[55];
void ins(ull x) {
for (int i = 0; i <= 50; i++) x = min(x, B[i] ^ x);
if (!x) return; // 插入失败
int pos = -1;
for (int i = 50; ~i; i--) {
if (B[i]) B[i] = min(B[i], B[i] ^ x);
else if (!(~pos) && (x >> i & 1)) pos = i;
}
B[pos] = x;
return;
}
这种实现的方便之处在于，可以快速地找到第 \(i\) 位为最高位 \(1\) 的元素 \(b_i\)（如果存在的话）。
另外，求两个集合的并的线性基，可以将一个集合的线性基的所有元素插入到另一线性基中。
线性基的应用
查询异或最小值
线性基的构造过程，保证了其中没有两个最高有效位相同的数。因此答案就是整个线性基中的最小值。
查询异或最大值
贪心地令高位最大，如果当前答案的第 \(i\) 位为 \(0\)，就异或 \(a_i\)，否则跳过这一位。
ull get_max() {
ull ans = 0;
for (int i = 50; ~i; i--) {
if (!(ans >> i & 1)) ans ^= a[i];
}
return ans;
}
对于第二种方法构造出的线性基，对于线性基能构造出的每一位 \(i\)，由于只有一个数 \(b_i\) 能令这一位为 \(1\)，并且 \(b_i\) 不会影响到更高位，因此只需求出线性基中所有元素的异或和，即为答案。
ull get_max() {
ull ans = 0;
for (auto b: B) ans ^= b;
return ans;
}
查询异或 \(k\) 小值
查询异或 \(k\) 小值就需要用到第二种方法所构造的线性基。
对于第一种线性基，假设为 \(\{10110,00111,00001\}\)，那么它们负责第 \(4\) 位（\(2^4\) 对应的位）、第 \(2\) 位、第 \(0\) 位。但是，\(10110\oplus00111=10001\) 比 \(10110\) 要小，而 \(10110\oplus00001=10111\) 比 \(10110\) 大，这样就导致了我们无法确定各个线性组合的大小顺序。
然而，由于第二种线性基的良好性质，假设为 \(\{00001,00110,10000\}\)（为了方便，我们按从小到大排列），设最高有效位为 \(i\) 的元素为 \(b_i\)，那么包含 \(b_i\) 的任一组合一定大于 \(b_0,\cdots,b_{i-1}\)（如果存在的话）的所有组合，这是因为包含 \(b_i\) 的组合的第 \(i\) 位一定为 \(1\)，而用 \(b_0,\cdots,b_{i-1}\) 无论如何也组合不出来第 \(i\) 位 \(1\)。
同时，如果线性基包含 \(l\) 个元素，那么一共有 \(2^l\) 种线性组合。因此，设 \(k\) 的二进制第 \(d_1,\cdots,d_s\) 位为 \(1\)，那么第 \(k\) 小值即为线性基中第 \(d_1,\cdots,d_s\) 个元素的组合。
例如，对于线性基 \(B=\{00001,00110,10000\}=\{\beta_0,\beta_1,\beta_2\}\)，其能组合出的所有值按从小到大排列为
分别设为 \(\alpha_0,\cdots,\alpha_7\)。现求第 \(k=6\) 小值，如果从 \(0\) 开始数就是第 \(5\) 小值。由于 \(5=(101)_2\) 的第 \(0\) 和第 \(2\) 位为 \(1\)，所以 \(B\) 能组合出的第 \(5\) 小值为 \(\alpha_5=\beta_0\oplus\beta_2=10001\)。
例题
下面都采用第二种线性基。
HDU-3949 XOR
对于 \(a_1,\cdots,a_n\)，选择其中若干个（不可以不选）进行异或，求可能的结果中的第 \(k\) 小值。
\(T\) 组数据，每组数据给定 \(a_1,\cdots,a_n\) 并 \(q\) 次询问 \(k\)。
\(1\le T\le30\)，\(1\le n,q\le10000\)，\(1\le a_i,k\le10^{18}\)。
虽然不能不选，但是选集合中的多个元素仍然可能组合出 \(0\)。
注意到，如果线性基 \(B\) 的大小 \(|B|\) 小于原集合的大小 \(n\)，那么说明原集合中有 \(x\notin B\) 可以被 \(B\) 中元素 \(b_{p_1},\cdots,b_{p_k}\) 表示，进而 \(b_{p_1}\oplus\cdots\oplus b_{p_k}\oplus x=0\)，即可以选择若干个数，异或和为 \(0\)。
因此，如果 \(|B|=n\)，则可能的结果中不包含 \(0\)；如果 \(|B|<n\)，则包含 \(0\)。
void solve() {
int n; cin >> n;
vector<ull> B;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
ull x; cin >> x;
ins(x, B);
}
sort(B.begin(), B.end());
int q; cin >> q;
while (q--) {
ull k; cin >> k;
if (B.size() < n) --k; // 原集合选若干个可以异或出 0
ull ans = 0;
for (auto b: B) {
if (k & 1) ans ^= b;
k >>= 1;
}
if (!k) cout << ans << '\n';
else cout << "-1\n"; // 总组合数不够 k
}
return;
}
洛谷-P4869 albus就是要第一个出场
把 上辈子写的题解 改了一下。
给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(A\)，设 可重 集合 \(S=\left\{\operatorname{xor}_{i=1}^nA_ix_i\mid x_i\in\{0,1\}\right\}\)，即 \(S\) 为 \(A\) 的所有子集的异或和构成的集合。
给定一个数 \(k\)，求 \(k\) 在 \(S\) 中的排名。如果 \(S\) 中有多个 \(k\)，取最小的排名。
\(1\le n\le10^5\)，其他输入不超过 \(10^9\)。
首先构造 \(A\) 的线性基 \(B\)，设 \(\operatorname{span}(B)=\operatorname{span}(A)=S\)。由于可以一个数都不选，所以 \(0\in S\)。
如果集合 \(S\) 不可重，给定一个数 \(k\)，如何求出它在 \(S\) 中的排名？保证 \(k\) 在 \(S\) 中出现。
我们从低到高考虑每一位。如果 \(B_i\) 不为空，并且 \(k\) 的第 \(i\) 位为 \(1\)，说明我们需要取出 \(B_i\) 以构造出 \(k\)。根据线性基的性质，\(B_i\) 的高位为 \(0\)，且 \(B\) 中其他数的第 \(i\) 位为 \(0\)，所以 必须取出 \(B_i\)，且取出 \(B_i\) 不影响之前和之后的操作。至于其他没考虑到的位，由于保证可以构造出 \(k\)，因此可以不用管。
求排名 \(rk\) 的具体代码如下：
int rk = 0, pw = 1;
f(i, 0, 30) if (B[i]) {
if (k >> i & 1) rk += pw;
pw <<= 1;
}
取出线性基的第 \(i\) 个元素，对应的贡献是 \(2^{i-1}\)。可以对照一个例子：
- 线性基为 \(\{00100,01001,10011\}\)，能构造出的数的集合为 \(\{00100,01001,01101,10011,10111,11010,11110\}\)。
现在考虑 集合 \(S\) 可重 的情况。设 \(f(s)=\operatorname{xor}_{s}x\)，其中 \(s\) 为某个集合。
考虑插入线性基的过程，出现了重复即是插入线性基失败。
设一个插入线性基失败的数为 \(x\)，那么存在 \(B'\subseteq B\) 使得 \(f(B')\operatorname{xor}x=0\)。设 \(x\) 对应的 \(B'\) 为 \(B_x\)。
根据异或的性质，如果用线性基中的数能构造出 \(y\)，设 \(y=f(Y)\)（\(Y\subseteq A\)），那么 \(y\) 也等于 \(f(Y)\operatorname{xor}f(B_x)\operatorname{xor}x\)，其中 \(x\) 是某个插入线性基失败的数。
对于每个 \(y\)，用线性基中的数构造的方案是唯一的（否则不符合线性基的定义）；而 \(x\) 对应的 \(B_x\) 也是唯一的。因此要构造 \(y\)，对于每个不在线性基中的 \(x\) 都可以用或不用，所以每个 \(y\) 的总方案数都要乘以 \(2^{n-|B|}\)。
于是答案为 \(rk\times2^{n-|B|}+1\)。
实现细节：
- \(2^{n-|B|}\) 可以在插入线性基失败的同时计算出来，这样就不需要用到快速幂了。
- \(rk<2^{31}\)，所以可以最后再取模。
#include <bits/stdc++.h>
#define f(x, y, z) for (int x = (y); x <= (z); ++x)
#define g(x, y, z) for (int x = (y); x >= (z); --x)
using namespace std;
int constexpr MOD = 10086;
int n, rk, pw = 1, B[32], c = 1;
void ins(int x) {
f(i, 0, 30) x = min(x, B[i] ^ x);
if (!x) return (c <<= 1) %= MOD, void();
int pos = -1;
g(i, 30, 0) {
if (B[i]) B[i] = min(B[i], B[i] ^ x);
else if (!(~pos) && (x >> i & 1)) pos = i;
}
B[pos] = x;
return;
}
signed main() {
cin >> n;
int x;
f(i, 1, n) cin >> x, ins(x);
cin >> x;
f(i, 0, 30) if (B[i]) {
if (x >> i & 1) rk += pw;
pw <<= 1;
}
rk %= MOD;
cout << (rk * c + 1) % MOD << '\n';
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号