NOI 竞赛大纲

upd：2025-04-18 修订版：NOI 大纲（2025年修订版）正式发布

重要的内容性改动包括：

• 1 入门级

  • 1.1 计算机基础与编程环境 12：由「g++、gcc 等常见编译器的基本使用」改为「常用编译命令 g++ 的基本使用」

  • 1.2 C++ 程序设计 11．指针与引用：新增【5】引用

  • 1.4 算法 新增：4．算法策略 【3】前缀和、【4】差分

  • 1.5 数学与其他

    • 3．初等数论：「模运算与同余」改为「模运算与取余」

    • 5．其他：删除【2】格雷码

• 2 提高级

  • 2.1 基础知识与编程环境：修改了很多，见正文

  • 2.2 C++ 程序设计 2．STL 模板：新增【5】位集合（bitset）

  • 2.4 算法

    • 2．算法策略：新增【7】扫描线
    • 5．字符串算法：KMP 算法的难度改为【6】；新增【7】Manacher 算法（原为 NOI 级知识点）
    • 7．图论算法：删除【7】次小生成树
    • 8．动态规划：新增【6】多维动态规划

  • 2.5 数学

    • 3．离散与组合数学：「等价关系」改为「等价关系与等价类」；新增【6】错排列、圆排列

• 3 NOI 级

  • 3.2 数据结构：删除【9】跳跃表、【8】二维线段树；虚树的难度改为【8】
  • 3.3 算法：
    • 2．字符串算法：扩展 KMP 算法的难度改为【8】；「有穷自动机」改为「有穷自动机的概念」
    • 3．图论算法：KM 算法的难度改为【10】
  • 3.4 数学与其他
    • 3．线性代数：新增【9】基与线性基
    • 5．概率论：「【10】随机变量的期望与方差」改为「【9】离散随机变量的期望与方差」

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upd：2023-03-15 修订版：NOI 大纲（2023年修订版）正式发布

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建议在各级别竞赛题目的命制中，

（1）各级别竞赛或活动的考察范围不超过对应的大纲级别，其中难度系数为 10 的知识点仅用于 CTS；
（2）避免对算法复杂度的常系数的考察；
（3）部分单个知识点可能对应不同层次、不同性能的多个数据结构或算法。考察内容应以常见的、经典的内容为主，避免虽具有微弱性能优势（例如算法复杂度的细微改进）但较为冷僻或过新的数据结构和算法。

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「NOI 大纲」

【X】表示难度系数

入门级难度系数范围取 1-5

提高级难度系数范围取 5-8

NOI 级难度系数范围取 7-10

1 入门级

1.1 计算机基础与编程环境

1. 【1】计算机的基本构成（CPU、内存、I/O 设备等）
2. 【1】Windows、Linux 等操作系统的基本概念及其常见操作
3. 【1】计算机网络和 Internet 的基本概念
4. 【1】计算机的历史和常见用途
5. 【1】NOI 以及相关活动的历史
6. 【1】NOI 以及相关活动的规则
7. 【1】位、字节与字
8. 【1】程序设计语言以及程序编译和运行的基本概念
9. 【1】使用图形界面新建、复制、删除、移动文件或目录
10. 【1】使用 Windows 系统下的集成开发环境（例如 Dev-C++ 等）
11. 【1】使用 Linux 系统下的集成开发环境（例如 Code::Blocks 等）
12. 【1】常用编译命令 g++ 的基本使用

1.2 C++ 程序设计

1. 程序基本概念

• 【1】标识符、关键字、常量、变量、字符串、 表达式的概念
• 【1】常量与变量的命名、定义及作用
• 【2】头文件与名字空间的概念
• 【2】编辑、编译、解释、调试的概念

2. 基本数据类型

• 【1】整数型：int, long long
• 【1】实数型：float, double
• 【1】字符型：char
• 【1】布尔型：bool

3. 程序基本语句

• 【2】cin 语句、scanf 语句、cout 语句、printf 语句、赋值语句、复合语句
• 【2】if 语句、switch 语句、多层条件语句
• 【2】for 语句、while 语句、do while 语句
• 【3】多层循环语句

4. 基本运算

• 【1】算数运算：加、减、乘、除、整除、求余
• 【1】关系运算：大于，大于等于，小于，小于等于，等于，不等于
• 【1】逻辑运算：与（&&）、或（||）、非（!）
• 【1】变量自增与自减运算
• 【1】三目运算
• 【2】位运算：与（&）、或（|）、非（~）、 异或（^）、左移（<<）、右移（>>）

5. 数学库常用函数

• 【3】绝对值函数 abs、四舍五入函数 round、下取整函数 floor、 上取整函数 ceil、平方根函数 sqrt、常用三角函数 sin, cos, tan、对数函数 log, log2、指数函数 exp, pow

6. 结构化程序设计

• 【1】顺序结构、分支结构和循环结构
• 【2】自顶向下、逐步求精的模块化程序设计
• 【2】流程图的概念及流程图描述

7. 数组

• 【1】数组与数组下标
• 【1】数组的读入与输出
• 【3】二维数组与多维数组

8. 字符串的处理

• 【2】字符数组与相关函数
• 【2】string 类与相关函数

9. 函数与递归

• 【2】函数定义与调用、形参与实参
• 【3】传值参数与传引用参数
• 【2】常量与变量的作用范围
• 【2】递归函数

10. 结构体与联合体

• 【3】结构体（struct）
• 【3】联合体（union）

11. 指针类型

• 【4】指针
• 【4】基于指针的数组访问
• 【4】字符指针
• 【4】指向结构体的指针
• 【5】引用

12. 文件及基本读写

• 【2】文件的基本概念、文本文件的基本操作
• 【2】文本文件类型与二进制文件类型
• 【2】文件重定向、文件读写等操作

13. STL 模板

• 【3】常用函数与算法模板：min, max, swap, sort
• 【4】栈（stack）、 队列（queue）、链表（list）、向量（vector）等容器

1.3 数据结构

1. 线性结构

• 【3】链表：单链表、双向链表、循环链表
• 【3】栈
• 【3】队列

2. 简单树

• 【3】树的定义及其相关概念
• 【4】树的表示与存储
• 【3】二叉树的定义与基本性质
• 【4】二叉树的表示与存储
• 【4】二叉树的遍历：前序、中序、后序

3. 特殊树

• 【4】完全二叉树的定义与基本性质
• 【4】完全二叉树的数组表示法
• 【4】哈夫曼树的定义和构造、哈夫曼编码
• 【4】二叉搜索树的定义和构造

4. 简单图

• 【3】图的定义与相关概念
• 【4】图的表示与存储：邻接矩阵
• 【4】图的表示与存储：邻接表

1.4 算法

1. 算法概念与描述

• 【1】算法概念
• 【2】算法描述：自然语言描述、流程图描述、伪代码描述

2. 入门算法

• 【1】枚举法
• 【1】模拟法

3. 基础算法

• 【3】贪心法
• 【3】递推法
• 【4】递归法
• 【4】二分法
• 【4】倍增法

4. 算法策略

• 【3】前缀和
• 【4】差分

5. 数值处理算法

• 【4】高精度的加法
• 【4】高精度的减法
• 【4】高精度的乘法
• 【4】高精度整数除以单精度整数的商和余数

6. 排序算法

• 【3】排序的基本概念
• 【3】冒泡排序
• 【3】选择排序
• 【3】插入排序
• 【3】计数排序

7. 搜索算法

• 【5】深度优先搜索
• 【5】广度优先搜索

8. 图论算法

• 【4】深度优先遍历
• 【4】广度优先遍历
• 【5】泛洪算法（Flood Fill）

9. 动态规划

• 【4】动态规划的基本思路
• 【4】简单一维动态规划
• 【5】简单背包类型动态规划
• 【5】简单区间类型动态规划

1.5 数学与其他

1. 数及其运算

• 【1】自然数、整数、有理数、实数及其算术运算（加、减、乘、除）
• 【1】进制与进制转换：二进制、八进制、十进制、十六进制

2. 初等数学

• 【1】代数（初中部分）
• 【1】几何（初中部分）

3. 初等数论

• 【3】整除、因数、倍数、指数、质（素）数、合数
• 【3】取整
• 【3】模运算与取余
• 【3】整数唯一分解定理
• 【3】辗转相除法（欧几里得算法）
• 【4】素数筛法：埃氏筛法与线性筛法

4. 离散与组合数学

• 【2】集合
• 【2】加法原理
• 【2】乘法原理
• 【4】排列
• 【4】组合
• 【4】杨辉三角

5. 其他

• 【2】ASCII 码

2 提高级

2.1 基础知识与编程环境

• 【5】Linux 系统终端中常用的文件与目录操作命令
• 【5】Linux 系统下常见文本编辑工具的使用
• 【5】常用编译命令 g++ 与相关编译选项
• 【5】在 Linux 系统终端中运行程序，使用 time 命令查看程序用时
• 【5】调试工具 GDB 的使用

2.2 C++ 程序设计

1. 类（class）

• 【6】类的概念及简单应用
• 【6】成员函数和运算符重载

2. STL 模板

• 【5】容器（container）和迭代器（iterator）
• 【5】对（pair），元组（tuple）
• 【5】集合（set），多重集合（multiset）
• 【5】双端队列（deque），优先队列（priority_queue）
• 【5】映射（map），多重映射（multimap）
• 【5】位集合（bitset）
• 【5】算法模板库中的常用函数

2.3 数据结构

1. 线性结构

• 【5】双端栈
• 【5】双端队列
• 【5】单调队列
• 【6】优先队列
• 【6】ST 表（Sparse Table）

2. 集合与森林

• 【6】并查集
• 【6】树的孩子兄弟表示法

3. 特殊树

• 【6】二叉堆
• 【6】树状数组
• 【6】线段树
• 【6】字典树（Trie）
• 【7】笛卡尔树
• 【8】平衡树： AVL、Treap、Splay 等

4. 常见图

• 【5】稀疏图
• 【6】偶图（二分图）
• 【6】欧拉图
• 【6】有向无环图
• 【7】连通图与强连通图
• 【7】双连通图

5. 哈希表

• 【5】数值哈希函数构造
• 【6】字符串哈希函数构造
• 【6】哈希冲突的常用处理方法

2.4 算法

1. 复杂度分析

• 【6】时间复杂度分析
• 【6】空间复杂度分析

2. 算法策略

• 【6】离散化
• 【7】扫描线

3. 基础算法

• 【6】分治算法

4. 排序算法

• 【5】归并排序
• 【5】快速排序
• 【6】堆排序
• 【5】桶排序
• 【6】基数排序

5. 字符串算法

• 【6】字符串匹配：KMP 算法
• 【7】Manacher 算法

6. 搜索算法

• 【6】搜索的剪枝优化
• 【6】记忆化搜索
• 【7】启发式搜索
• 【7】双向广度优先搜索
• 【7】迭代加深搜索

7. 图论算法

• 【6】最小生成树：Prim 和 Kruskal 等算法
• 【6】单源最短路：Bellman-Ford、Dijkstra、SPFA 等算法
• 【7】单源次短路
• 【6】Floyd-Warshall 算法
• 【6】有向无环图的拓扑排序
• 【6】欧拉道路和欧拉回路
• 【6】二分图的判定
• 【7】强联通分量
• 【7】割点、割边
• 【6】树的中心、直径、DFS 序与欧拉序
• 【6】树上差分、子树和与倍增
• 【6】最近公共祖先

8. 动态规划

• 【6】多维动态规划
• 【6】树型动态规划
• 【7】状态压缩动态规划
• 【8】动态规划的常用优化

2.5 数学

1. 初等数学

• 【5】代数（高中部分）
• 【6】几何（高中部分）

2. 初等数论

• 【5】同余式
• 【7】欧拉定理和欧拉函数
• 【7】费马小定理
• 【7】威尔逊定理
• 【7】裴蜀定理
• 【7】模意义下的乘法逆元
• 【7】扩展欧几里得算法
• 【7】中国剩余定理

3. 离散与组合数学

• 【6】多重集合
• 【6】等价关系与等价类
• 【6】多重集上的排列
• 【6】多重集上的组合
• 【6】错排列、圆排列
• 【6】鸽巢原理
• 【6】二项式定理
• 【7】容斥原理
• 【7】卡特兰（Catalan）数

4. 线性代数

• 【5】向量与矩阵的概念

• 【6】向量的运算

• 【6】矩阵的初等变换

• 【6】矩阵的运算：加法、减法、乘法与转置

• 【6】特殊矩阵的概念：单位阵、三角阵、对称阵和稀疏矩阵

• 【7】高斯消元法

3 NOI 级

3.1 C++ 程序设计

• 【8】面向对象的程序设计思想（OOP）

3.2 数据结构

1. 线性结构

• 【8】块状链表

2. 复杂树

• 【8】树链剖分
• 【10】动态树：LCT
• 【9】树套树
• 【9】k-d 树
• 【8】虚树

3. 可合并堆

• 【8】左偏树
• 【10】二项堆

5. 可持久化数据结构

• 【8】可持久化线段树
• 【9】其他可持久化数据结构

3.3 算法

1. 算法策略

• 【8】分块
• 【8】离线处理思想
• 【9】复杂分治思想
• 【9】平衡规划思想
• 【9】构造思想

2. 字符串算法

• 【8】扩展 KMP 算法

• 【8】有穷自动机的概念

• 【8】AC 自动机

• 【8】后缀数组

• 【9】后缀树

• 【10】后缀自动机

3. 图论算法

• 【8】奇环树
• 【10】最小树形图
• 【8】2-SAT
• 【8】网络流
• 【10】图的支配集、独立集与覆盖集
• 【8】匈牙利算法
• 【10】KM 算法
• 【10】一般图的匹配

4. 动态规划

• 【9】复杂动态规划模型的构建
• 【9】复杂动态规划模型的优化

3.4 数学与其他

1. 初等数论

• 【8】原根和指数
• 【8】大步小步（Baby Step Giant Step，BSGS）算法
• 【9】狄利克雷（Dirichlet）卷积
• 【10】二次剩余
• 【10】二次同余式

2. 离散与组合数学

• 【9】群及其基本性质

• 【9】置换群与循环群

• 【9】母函数

• 【9】莫比乌斯反演

• 【9】Burnside 引理与 Pólya 定理

• 【9】斯特林（Stirling）数

• 【9】无根树的 Prüfer 序列

3. 线性代数

• 【9】逆矩阵
• 【9】行列式
• 【9】向量空间与线性相关
• 【9】基与线性基

4. 高等数学

• 【8】多项式函数的微分
• 【8】多项式函数的积分
• 【10】泰勒（Taylor）级数
• 【10】快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）

5. 概率论

• 【8】概率的基本概念
• 【9】离散随机变量的期望与方差
• 【9】条件概率
• 【9】贝叶斯公式

6. 博弈论

• 【9】尼姆（Nim）博弈
• 【9】SG 函数

7. 最优化

• 【10】单纯形法

8. 计算几何

• 【8】点、线、面之间位置关系的判定
• 【8】一般图形面积的计算
• 【8】二维凸包
• 【9】半平面交

9. 信息论

• 【10】熵、互信息、条件熵、相对熵

10. 其他

• 【10】信息复杂度的概念
• 【10】描述复杂度的概念
• 【10】通讯复杂度的概念