[BSGS]大步小步算法
问题
BSGS被用于求解离散对数，即同余方程：
\[A^x\equiv B\pmod{P}
\]
求\(x\)的最小非负整数解。
保证\(A\perp P\)(互质)。
分析
首先，我们根据费马小定理，有
\[A^{P-1}\equiv 1\pmod{P}
\]
则显然有
\[A^{x-k(P-1)}\equiv A^x\pmod{P}
\]
即
\[A^{x\mod{P-1}}\equiv A^x\pmod{P}
\]
那么显然\(x<P-1\)，我们就得到了一个\(O(P)\)的算法，然而太慢了。
考虑分块算法，对\(x\)每\(m\)分一块，则有
\[A^{im-j}\equiv B\pmod{P}
\]
移项整理
\[\left(A^m\right)^i\equiv A^j B\pmod{P}
\]
那么我们枚举\(i\)，就可以求出\(A^j\)。再对于\(j\in[0,m-1]\)的\(A^j\)存进哈希表/map，就可以得到\(x=im-j\)了。如果不考虑查询哈希表/map的时间，则时间复杂度为\(O(m+\frac{P}{m})\)。
那\(m\)应该取何值呢？由基本不等式显然有：
\[m+\frac{P}{m}\ge\sqrt{m\frac{P}{m}}=\sqrt{P}
\]
当\(m=\frac{P}{m}\)时取等。
那么我们令\(m=\lceil\sqrt{P}\rceil\)，就得到了一个\(O(\sqrt{P})\)的算法。
代码
\(-1\)为无解。
ll BSGS(ll a,ll b,ll p){
if(!a)return b?-1:1;
if(b==1)return 0;
map<ll,ll>mp;
ll m=ceil(sqrt(p)),ax=1;
for(int i=0;i<m;i++){
mp[ax]=i;
ax=ax*a%p;
}
ll am=pow(a,m,p),aj=am*pow(b,p-2,p)%p;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(mp.count(aj))return m*i-mp[aj];
aj=aj*am%p;
}
return -1;
}
例题
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
int t,k;
ll y,z,p;
ll pow(ll a,ll b,ll p){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*a%p;
a=a*a%p;
b>>=1;
}
return ans;
}
ll BSGS(ll a,ll b,ll p){
if(!a)return b?-1:1;
if(b==1)return 0;
map<ll,ll>mp;
ll m=ceil(sqrt(p)),ax=1;
for(int i=0;i<m;i++){
mp[ax]=i;
ax=ax*a%p;
}
ll am=pow(a,m,p),aj=am*pow(b,p-2,p)%p;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(mp.count(aj))return m*i-mp[aj];
aj=aj*am%p;
}
return -1;
}
int main(){
scanf("%d%d",&t,&k);
while(t--){
scanf("%lld%lld%lld",&y,&z,&p);
if(k==1)printf("%lld\n",pow(y,z,p));
else if(k==2){
if(y%p==0)printf("Orz, I cannot find x!\n");
else printf("%lld\n",pow(y,p-2,p)*z%p);
}else{
ll ans=BSGS(y%p,z%p,p);
if(~ans)printf("%lld\n",ans);
else printf("Orz, I cannot find x!\n");
}
}
}
