欧拉回路、混合图的欧拉回路

欧拉回路

从一个点开始把图中的边恰好经过一次，再回到出发点，这样的路径就是欧拉回路。

如图就是一个欧拉回路

欧拉回路判定

不过怎么样的图中才存在欧拉回路呢？

欧拉回路分有向图和无向图两种：

1. 有向图： 图中所有点的入度等于出度
2. 无向图： 图中所有点的度数都为偶数

这还是很好理解的，不过你可能要问，怎么知道一个混合图中有没有欧拉回路呢？

混合图的欧拉回路

过程：

1. 先将无向边随意定向
2. 判断每个点的入度和出度是不是同奇偶，不同则无解
3. 用一个超级原点向出度小于入度的点连一条容量为 \({|入度-出度| \over 2}\) 的边
   用一个超级汇点向出度大于入度的点连一条容量为 \({|入度-出度| \over 2}\) 的边
4. 将原图无向边的另一个方向边连到图中，容量为 1
5. 跑最大流，判断与 S 相连的边是否满流，满流则有解

PS：其实也十分好理解，其实就是将原来无向边的方向进行调整，使得每个点的入度等于出度。每个点需要调整 \({|入度-出度| \over 2}\) 次，所以边的容量为 \({|入度-出度| \over 2}\)。
当我们流过一条边的时候，两条边容量各减一，就相当于把边调整的过程。