【NOIP2012】国王游戏（一类全序问题）

设按新安排的队伍顺序第 \(i\) 个人左手数字为 \(a_i\)，右手数字为 \(b_i\)。

我们考虑什么时候交换第 \(i\) 个人和第 \(i+1\) 个人不会更优。

设前 \(i-1\) 个人获得的金币的最大值为 \(pre\)，他们 \(a_i\) 的乘积为 \(s\)。

由于交换第 \(i\) 个人和第 \(i+1\) 个人对后面的人获得的金币数没有影响，所以我们只需要让前 \(i+1\) 个人的最大值最小。

交换前：\(ans_1=\max\left(pre,\dfrac{s}{b_i},\dfrac{s\cdot a_i}{b_{i+1}}\right)\)。

交换后：\(ans_2=\max\left(pre,\dfrac{s}{b_{i+1}},\dfrac{s\cdot a_{i+1}}{b_i}\right)\)。

交换第 \(i\) 个人和第 \(i+1\) 个人不会更优当且仅当 \(ans_1\leq ans_2\)。

显然有 \(\dfrac{s}{b_i}\leq \dfrac{s\cdot a_{i+1}}{b_i}\)，\(\dfrac{s}{b_{i+1}}\leq \dfrac{s\cdot a_i}{b_{i+1}}\)，所以 \(ans_1\leq ans_2\) 的充分条件是 \(\dfrac{s\cdot a_i}{b_{i+1}}\leq \dfrac{s\cdot a_{i+1}}{b_i}\)。

得到 \(a_ib_i\leq a_{i+1}b_{i+1}\)，于是我们对所有人按 \(a_ib_i\) 排序即可。

貌似这里只考虑了相邻的交换，那么这个排队顺序为什么一定是最优的呢？我们可以这么想：如果这个排队顺序中存在某个 \(a_ib_i>a_{i+1}b_{i+1}\)，那么交换 \(i\) 和 \(i+1\) 肯定是不劣的。所以最优排队顺序中一定对于所有的 \(i\) 都满足 \(a_ib_i\leq a_{i+1}b_{i+1}\)。

需要高精度。

#include<bits/stdc++.h>

#define N 1010

using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

struct data
{
	int a,b;
}p[N];

bool operator < (data a,data b)
{
	return a.a*a.b<b.a*b.b;
}

struct BigInt
{
	int len,a[4010];
	BigInt(){len=0;memset(a,0,sizeof(a));};
	BigInt(int x)
	{
		len=0;
		while(x)
		{
			a[++len]=x%10;
			x/=10;
		}
	}
};

bool operator < (const BigInt &a,const BigInt &b)
{
	if(a.len!=b.len) return a.len<b.len;
	for(int i=a.len;i>=1;i--)
		if(a.a[i]!=b.a[i]) return a.a[i]<b.a[i];
	return 0;
}

BigInt operator * (BigInt a,int b)
{
	for(int i=1;i<=a.len;i++) a.a[i]*=b;
	int i;
	for(i=1;i<=a.len||a.a[i];i++)
	{
		a.a[i+1]+=a.a[i]/10;
		a.a[i]%=10;
	}
	a.len=i;
	return a;
}

BigInt operator / (BigInt a,int b)
{
	int now=0;
	for(int i=a.len;i>=1;i--)
	{
		now=now*10+a.a[i];
		a.a[i]=now/b;
		now%=b;
	}
	while(a.len>1&&!a.a[a.len]) a.len--;
	return a;
}

void print(const BigInt &a)
{
	for(int i=a.len;i>=1;i--)
		putchar('0'+a.a[i]);
}

int n,a,b;

int main()
{
	n=read(),a=read(),b=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		p[i].a=read(),p[i].b=read();
	sort(p+1,p+n+1);
	BigInt prod(a);
	BigInt maxn;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		maxn=max(maxn,prod/p[i].b);
		prod=prod*p[i].a;
	}
	print(maxn);
	return 0;
}