补码的起源

补码的起源

在介绍之前，我们先来解决两个小问题：

• 假设你现在拥有一台计算机，只有若干个4位的寄存器，如何用它来计算10+3 ?

　　为了让机器计算，我们需要把数字转化成二进制交给计算机。于是，我们先把10写成1010，3写成0011，然后分别存入4位的寄存器，交给加法器进行加法操作得到10+3=1010+0011=1101=13。好，第一个问题解决了。

• 还是有若干个4位的寄存器，如何用它计算10-3 呢?

　　我们都知道，计算机内实现减法的电路比加法复杂很多，因此我们需要考虑的是，如何让只做加法的机器做减法算术呢？

　　其实，解决这个问题后，补码的起源就真相大白了。

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　　如何用加法实现减法呢？先人早已从生活中找到了解决办法：钟。

　　我们都知道，钟总是顺时针移动着。如果我们把顺时针看作做加法，逆时针看作做减法，我们可以发现，钟也是一种只能做加法的机器。尽管如此，人们发现钟是可以用减法实现加法的。

　　假设，当前时间是10：00，我们想知道7小时前是几点？

　　用人脑可以很快反应出这是个减法操作：10-7，我们只要逆时针数7大格，于是可以得出10-7=3。那如何用加法实现呢？其实也很简单：逆时针转7格就等价于顺时针转12-7=5格——10+5=15，由于是开始了第二轮了，所以钟面显示的值自然是15-12=3。

　　为了科学严谨的描述这样一个有趣的现象，人们把钟一圈的12个小时定义为模大小（也就是说，模就等于一个机器最多能表示的数字个数）。于是，在“钟算”中，-x等价于+(模-x)。因此，当我们想计算10-7，“钟算”中，-7等价于+(12-7)=5小时，最终得到10-7=10+5=3点。

　　再举个例子，当我们想运算 11-8，同理可得“钟算”中，-8等价于+(12-8)=4小时，最终得到11-8=11+4=3点。

　　看到这里，你也许会觉得钟算可以非常完美的解决减法问题了。但是很快，人们发现钟算用减法代替加法是有局限的：“钟算”只能用来做大数-小数的减法。假如我们现在要计算7-10，那么按照“钟算”来，我们将得到7+(12-10)=9，然而实际上却应该等于-3！那该怎么办呢？

　　仔细思考一下，我们很容易会发现，其实7-10肯定是不能用钟算实现的，因为钟面上根本没有-3的数字！既然这样，那只有一个办法：我们将钟面上的9当成-3。这样一来，“钟算”就没有问题啦~

　　那么，除了把9看作-3，还有哪些数字需要看作负数呢？

　　为了让“钟算”中，负数和正数的算术能力均衡，我们就一半一半的分开表示：0-5这6个数字表示本身的数，6-11这6个数字对应表示-6~-1，这样我们就发现其中9正好对应的是-3.

　　于是，生活中的“钟”，经过我们的改造，变成了真正可以用“加法”实现“减法”的钟了，也就是说，改造后的“钟”，利用“钟算”的规则，小数-大数的减法也可以正确实现了。

　　现在，我们再用一个例子来验证一下：计算4-9，利用“钟算”转化成加法即，4+(12-9)=7，而钟面7的的位置在我们的新钟中已经变成了-5，计算正确。

　　不过值得注意的是，利用原来的钟，加法计算结果的最大值是11，现在最大只能是5了，也就说，用这个改造后的钟，虽然可以计算减法了，但是代价是能做的加法变少了，计算结果的范围从0~11变成了-6~5，不过可以表示的总个数都是12个没有变，也就是模的大小。举个简单的例子来更清晰的说明这个代价：原先的钟可以用来计算3+4=7，而现在无法计算此算式了，因为7已经超出了最大正数5的范围了；但是它可以用来做小数-大数的减法了，如3-5=3+(12-5)=-2.

                 

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　　好，现在让我们回到计算机的问题中来，来解决如何让计算机计算10-3的问题。

　　参考钟的实例，类比不难得到4位寄存器的计算机，模就是16(参考前面模的解释)。

　　为了让这16个数字也要实现像上面“钟算”的功能，我们要构造一个圈循环(这其实就是补码的本质)。其实很简单，我们可以完全模仿。由于模是16，所以初始圈的数字是0~15，所以我们只需要改造成-8~7(具体对应细节见下图)。这样一来，我们就可以采用和刚刚钟算一样的方法，用加法实现减法了。

                    

　　将上面的改造结果列成表格：

钟的初始值(D)	对应的二进制	改造后对应的值(D)
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	-8
9	1001	-7
10	1010	-6
11	1011	-5
12	1100	-4
13	1101	-3
14	1110	-2
15	1111	-1

 

　　钟的初始值和二进制的对应关系我们叫做原码，那么改造后的值和中间二进制的对应关系该怎么命名呢？于是，人们就叫它补码。

　　为什么这么叫呢？因为我们很容易发现，改造后的负数的绝对值+对应的改造前的正数=模。所以我们可以说，-5的补码是11的原码1100；-4的补码就是12的原码1101……

　　简单总结一下补码的起源：将寄存器的所能表示的所有的数字仿照钟排列成循环圈，然后对钟面的值进行改造，使得可以用减法来实现加法。

　　到此，补码的由来其实已经全部结束了！

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现在我们解答很多同学对于补码的疑问：

　　①补码中，我们说，第一位是符号位，1表示负，0表示正，是人为定义的吗？

　　显然，不是人为定义的。回顾一下，其实是因为我们要让钟算完成小数-大数的减法运算，不得不将其中某些通过“钟算”计算得到的正数看作是负值，例如最开始提及的4-9的例子中，我们用钟算可以得到结果是4+(12-9)=7，于是我们将钟面上的7看作是正确的结果-5。然后，我们为了让可以计算的正数结果和负数结果相同，所以将其中一半这样的值都看作了对应正确的负值。

　　神奇的地方在于，当我们被迫这么做后，我们可以观察上面的表格，惊喜的发现，所有的负数对应的补码最高位都是1，而所有的正数最高为都是0.

　　②补码中，正数的补码等于原码，负数的补码由原码得到：符号位为1，其余位原码取反加一。为什么要这么做？

　　正数的补码从上面的表格中已经可以看到的确就是原码，负数的补码我们先用这个规则验证一下：

　　例如求-5的补码：先写出-5的原码是1101，然后补码的最高位为1不变，其余位是101取反加一，也就是010+1=011。因此，-5的补码就是1011，查上表发现的确正确。

　　那么，这个巧妙的规则是如何发现的呢？我们以计算16-5为例子进行说明：

　　首先我们把16写成二进制，即1 0000，我们需要计算16-5，也就是 10000-0101=(1111-0101)+1=1010+1=1011。现在你终于明白了吧？1111减去0101就相当于对0101取反，然后再加一即可。

　　一句话总接一下吧：当人们想使用一种只能做加法的机器来解决小数-大数的减法问题，并且希望能表示的负数和非负数平分时，补码和数字的对应关系就已经全部确定了。而后，人们从这些对应关系中总结出了很多有意思的规律，也就是我们的老师们在课堂上讲授的各种补码规则，它们可以帮助我们很快速的写出任何一个数的补码。因此，老师会选择将这个非常巧妙的结论直接告诉了我们，希望我们可以记住，(当然，副作用是造成了很多人觉得这些人为规定空穴来风)。如果今天你仔细看了这篇文章，相信对其中很多的规则一定更加清楚了吧！