基础整理 - 随笔分类 - exponent

字符串基础_扩展KMP

摘要：母串：S 子串：T extend[i]=LCP(S[i..n],T) next[i]=LCP(T[i..n],T) 假设extend[1..k]已计算出，现计算extend[k+1] 令P=max{I+extend[I]-1} (I=1..k) 并令使P取最大值的I为a 则有 S[a..p]=T[1... 阅读全文

posted @ 2011-09-25 17:22 exponent 阅读(267) 评论(0) 推荐(0)

动态规划优化_斜率优化

摘要：先来看一道题(HDU3507):题意:给出N个单词,每个单词有个非负权值Ci,将k个单词排在一行的费用为(∑Ci)^2+M.求最优方案,使得总费用最小.我们很容易得到一个O(N^2)的算法:s[i]表示前i个单词的权值和.先写个东西在这:所有元素非负的数组的前缀和值随下标增加单调递增.后面会用到.f[i]表示将前i个单词排版完毕后的最优值,f[i]=min{f[j]+(s[i]-s[j])^2+M}.但题目中N的范围是500000.这个算法明显不行.考虑如何优化.我们固定i,考虑它的两个一般决策点j,k(j<k).记g[pos]=f[pos]+(s[i]-s[pos])^2+M,即i从p 阅读全文

posted @ 2011-08-11 14:14 exponent 阅读(2056) 评论(0) 推荐(2)

图论基础_LCA

摘要：LCA,即LeastCommonAncestor,最近公共祖先.在上图中,2和3的LCA是1,3和4的LCA也是1.求LCA的算法怎么样的呢?先来看张图.欧拉序列F:1 2 5 2 6 2 1 3 1 4 1深度序列B:0 1 2 1 2 1 0 1 0 1 0POS:1 2 8 10 3 5欧拉序列即对树进行DFS过程中得到的DFS序列,深度是欧拉序列中对应的各个节点在树中的深度,POS是各个节点在DFS序列中第一次出现的位置.如3第一次出现是在欧拉序列的第8个,所以POS(3)=8.根据DFS的性质，对于两结点u、v，从pos(u)遍历到pos(v)的过程中经过LCA(u, v)有且仅有一阅读全文

posted @ 2011-08-09 15:13 exponent 阅读(747) 评论(0) 推荐(0)

数论基础_欧拉函数

摘要：欧拉函数在OI中是个非常重要的东西,不知道的话会吃大亏的.欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.对φ(N)的值,我们可以通俗地理解为小于N且与N互质的数的个数.欧拉函数的一些性质:1.欧拉函数是积性函数,但不是完全积性函数,即φ(mn)=φ(n)*φ(m)只在(n,m)=1时成立.2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn. φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).3.除了N=2,φ(N)都是偶数.4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).根据性质2,我们可以在O(sqrt(n))的时间内求出一个数的欧拉阅读全文

posted @ 2011-08-09 11:04 exponent 阅读(7691) 评论(0) 推荐(0)

数论基础_素数相关

摘要：1.素数判定普通的算法即O(sqrt(N))的试除法,高级些的Miller_Rabin素数测试.但NOIP似乎用不着Miller_Rabin,试除法又非常简单,就不在这里写了.2.求素数筛法是比较常见的方法.埃拉托色尼斯筛法可以对付一般的题目了.但我想写写线性筛法.先给code:const MAX=1000000;var Prime:array[0..MAX] of longint; v:array[0..MAX] of boolean; procedure GetPrime; var i,j,tmp,size:longint; begin ... 阅读全文

posted @ 2011-08-09 10:38 exponent 阅读(344) 评论(0) 推荐(0)

数论基础_中国剩余定理

摘要：给出一个线性同余方程组 x≡b1(mod m1) x≡b2(mod m2) x≡b3(mod m3) ...... x≡bn(mod mn)其中m1,m2,...,mn两两互素,求x.令M=m1*m2*m3*...*mn.Mi=M/mi.Mi'Mi≡1 (mod mi)用扩展欧几里得算法求出Mi关于mi的乘法逆元Mi'.x=∑Mi'Mibi mod Mcode:var p,q,r:array[0..10000] of longint; n,i,m,xx,yy,ans:longint; function exgcd(a,b:longint; var x,y:longint 阅读全文

posted @ 2011-08-09 10:17 exponent 阅读(520) 评论(0) 推荐(0)

数论基础_扩展欧几里得算法

摘要：扩展欧几里得算法是用来求解形如ax+by=c的方程的.令d=gcd(a,b),若d不整除c则方程无解.我们先考虑这个方程:ax+by=d∵gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)∴d=ax+by=bx'+(a mod b)y'=bx'+(a-[a/b]b)y'=ay'+b(x'-[a/b]y')令x=y' y=x'-[a/b]y'当b=0时,d=a=ax+by得x=1,y=0.求出ax+by=d的一组解x',y'后,由(c/d)ax'+(c/d)by'=(c/d)d即可得到ax 阅读全文

posted @ 2011-08-09 10:11 exponent 阅读(458) 评论(0) 推荐(0)

数论基础_线性同余方程

摘要：定理1:如果a,b,m,n是整数,且c|a,c|b,则c|(ma+nb).证明:令a=ce,b=cf,则ma+nb=emc+fnc=c(em+fn).得证形如ax+by=c的方程,其中a,b,c为整数,被称为关于两个变量的线性丢番图方程.定理2:设a,b是整数且d=(a,b),如果d|c,那么存在无穷多个整数解,否则没有整数解.证明:由定理1,知d|(ax+by).因此若d不整除c,则方程无整数解.形如ax≡b (mod m)的同余式称为一元线性同余方程.定理3:设a,b和m是整数,m>0,(a,m)=d,若d|b则ax≡b (mod m)恰有d个模m不同余的解,否则无整数解.证明:ax 阅读全文

posted @ 2011-08-09 10:06 exponent 阅读(753) 评论(0) 推荐(0)

数论基础_欧几里德算法

摘要：定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0) 证明：a可以表示成a=kb+r，则r=a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a,d|b,而r=a-kb，因此d|r 因此d也是(b,a mod b)的公约数因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证摘自百度百科:http://baike.baidu.com/view/1241014.htmcode: function gcd(a,b:longint):longint; begin if b... 阅读全文

posted @ 2011-08-09 09:37 exponent 阅读(224) 评论(0) 推荐(0)

图论基础_最小生成树

摘要：1.Prim算法(POJ2560)const maxn=101;var x,y,mindis:array[0..maxn] of extended; dis:array[0..maxn,0..maxn] of extended; vis:array[0..maxn] of boolean; n,i,j:longint; function calc(a,b:longint):extended; begin calc:=sqrt(sqr(x[a]-x[b])+sqr(y[a]-y[b])); end; procedure prim(root:longint); var i,j,k:longint; 阅读全文

posted @ 2011-08-07 20:18 exponent 阅读(255) 评论(0) 推荐(0)

图论基础_最短路

摘要：1.Dijkstra算法.(O(N^2)的算法就不写了,贴个堆优化的Dijkstra.)type node=record u,d:longint;end;const maxn=30001; maxm=400001; oo=1<<30;var n,m,s,t,cnt,size,u,v,w,i,j:longint; e:array[0..maxm] of record v,n,w:longint; end; l,d:array[0..maxn]... 阅读全文

posted @ 2011-08-07 20:11 exponent 阅读(285) 评论(0) 推荐(0)

状压动规_(POJ2817)

摘要：题意:给出N(N<=10)个字符串(length<=10),定义两个串a,b之间的公共序列长度为将a,b对齐后,相同位置上相同字母的个数,a,b的最长公共序列长度自然是相同字母数的最大值,如a='abcd',b='bed',a,b的最长公共序列长度为2.如要求将N个字符串排列,使得相邻的N-1对字符串的最长公共序列长度和最大.(出题人不负责,N怎么也应该有20,这题暴搜可以过.)讲讲状压的做法.f[i,j]中j(二进制)表示哪些字符串已选,i表示最右边的是哪一个字符串.转移时,枚举j中的一个不为0的位,去掉,成为j',i'表示j 阅读全文

posted @ 2011-08-07 17:29 exponent 阅读(571) 评论(0) 推荐(0)

状压动规_(POJ2411)

摘要：题意很简单,用1*2的小矩形不重叠也不漏地铺满n*m的矩形,问方案数.解法自然是状态压缩DP.考虑每一行,用一个二进制串表示其状态,若第i位为1则表示在这一行的第i列竖放一个矩形,它占用了这一行和下一行的第i列(下一行的第i列为0).其余的0表示横放的矩形.具体做法:用f[i,j]表示第i行放置方法为j(j是二进制数)的方案数.显然第一行的二进制串中不能出现连续的奇数个.对于第i行的二进制串now,第i-1行的二进制串pre,它们应该满足now and pre=0,且now or pre中也不能含连续奇数个0.对于最后一行,只要上一行的二进制串中不含连续奇数个0即可.code:var p:ar 阅读全文

posted @ 2011-08-07 17:13 exponent 阅读(408) 评论(0) 推荐(0)

树形动规_(比赛转播)

摘要：比赛转播 tele.pas/c/cpp 【问题描述】一个电视网络计划转播一场重要的足球比赛。网络中的传输点和接收点（即用户）可以表示一棵树。这棵树的根是一个传输点，它将转播比赛。树的叶节点是可能要接受这场比赛的用户（他当然可以选择不看比赛，这样就不要交款）。其他非根节点，非叶节点的中间节点为数据的中转站。将一个信号从一个传输点传到另一个传输点的花费是给定的。整个转播的费用就是每一个传输费用的总和。每一个用户（叶节点）都准备付一定的钱来看这场比赛。电视网络公司要决定是否要给这个用户提供电视信号。例如：给一个节点传输信息的花费太大，而他愿意的付款也很少时，网络公司可能选择不给他转播比赛。写阅读全文

posted @ 2011-08-07 08:43 exponent 阅读(624) 评论(0) 推荐(0)

树形动规_(访问艺术馆)

摘要：访问艺术馆 gallery.pas/c/cpp【问题描述】经过数月的精心准备，Peer Brelstet，一个出了名的盗画者，准备开始他的下一个行动。艺术馆的结构，每条走廊要么分叉为两条走廊，要么通向一个展览室。Peer知道每个展室里藏画的数量，并且他精确测量了通过每条走廊的时间。由于经验老到，他拿下一幅画需要5秒的时间。你的任务是编一个程序，计算在警察赶来前，他最多能偷到多少幅画。【输入格式】第1行是警察赶到的时间，以秒为单位。第2行描述了艺术馆的结构，是一串非负整数，成对地出现：每一对的第一个数是走过一条走廊的时间，第2个数是它末端的藏画数量：如果第2个数是0那么说明这条走廊分叉为两阅读全文

posted @ 2011-08-06 21:14 exponent 阅读(571) 评论(0) 推荐(0)

树形动规_(没有上司的晚会)

摘要：没有上司的晚会(Ural) party.pas/c/cpp 【问题描述】有个公司要举行一场晚会。为了能玩得开心，公司领导决定：如果邀请了某个人，那么一定不会邀请他的上司（上司的上司，上司的上司的上司……都可以邀请）。每个参加晚会的人都能为晚会增添一些气氛值，求一个邀请方案，使气氛值的和最大。【输入格式】第 1 行一个整数 N（1<=N<=6000）表示公司的人数。接下来 N 行每行一个整数。第 i 行的数表示第 i 个人的气氛值 x(-128<=x<=127)。接下来每行两个整数 L，K。表示第 K 个人是第 L 个人的上司。输入以 0 0 结束。【输阅读全文

posted @ 2011-08-06 16:33 exponent 阅读(710) 评论(0) 推荐(0)

树形动规_(战略游戏)

摘要：战略游戏(SGOI) stragedi.pas/c/cpp 【问题描述】 Bob 喜欢玩电脑游戏，特别是战略游戏。但是他经常无法找到快速玩过游戏的办法。现在他有个问题。他要建立一个古城堡，城堡中的路形成一棵树。他要在这棵树的结点上放置最少数目的士兵，使得这些士兵能了望到所有的路。注意，某个士兵在一个结点上时，与该结点相连的所有边将都可以被了望到。请你编一程序，给定一树，帮 Bob 计算出他需要放置最少的士兵。【输入格式】输入文件中数据表示一棵树，描述如下：第一行 N，表示树中结点的数目。第二行至第 N+1 行，每行描述每个结点信息，依次为：该结点标号 i，k(后面有 k 条边与结点阅读全文

posted @ 2011-08-06 16:13 exponent 阅读(561) 评论(0) 推荐(0)

树形动规_(二叉苹果树)

摘要：二叉苹果树(Ural) apple.pas/c/cpp 【问题描述】有一棵苹果树，如果树枝有分叉，一定是分 2叉（就是说没有只有 1个儿子的结点）。这棵树共有 N 个结点（叶子点或者树枝分叉点），编号为1-N,树根编号一定是 1。我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有 4 个树枝的树。 2 5 \ / 3 4 \ / 1 现在这颗树枝条太多了，需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。给定需要保留的树枝数量，求出最多能留住多少苹果。【输入格式】第 1 行 2 个数，N 和 Q(1<=Q<= N,1<N<=100)。 N 表示树的结点数，Q 表阅读全文

posted @ 2011-08-06 15:47 exponent 阅读(1658) 评论(0) 推荐(0)

树形动规_(技能树)

摘要：技能树(SGOI) skill.pas/c/cpp 【问题描述】玩过 Diablo 的人对技能树一定是很熟悉的。一颗技能树的每个结点都是一项技能，要学会这项技能则需要耗费一定的技能点数。只有在学会了某一项技能以后，才能继续学习它的后继技能。每项技能又有着不同的级别，级别越高效果越好，而技能的升级也是需要耗费技能点数的。有个玩家积攒了一定的技能点数，他想尽可能地利用这些技能点数来达到最好的效果，因此他给所有技能的所有级别都打上了分，他认为效果越好的则分数越高。现在他要你帮忙寻找一个分配技能点数的方案，使得分数总和最高。【输入格式】第一行是一个整数 n（1<=n<=20），表示阅读全文

posted @ 2011-08-06 15:19 exponent 阅读(684) 评论(0) 推荐(0)

动态规划_背包问题扩展

摘要：扩展问题中比较常见的就是求方案数和求第K优解.求方案数的问题中,一般是求将背包装满的方案数(求最优方案数不多见).代码很简单:var f:array[0..10000] of longint; v:array[0..100] of longint; n,m,i,j:longint;begin readln(n,m); for i:=1 to n do readln(v[i]); f[0]:=1; for i:=1 to n do for j:=v[i] to m do inc(f[j],f[j-v[i]]); writeln(f[m]);end.note:对于a1X1+a2X2+a3X3+.. 阅读全文

posted @ 2011-08-06 09:54 exponent 阅读(460) 评论(0) 推荐(0)

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