[实用向]极限、求导法则及其推导汇编

\[\newcommand\so{\implies} \newcommand\for{\impliedby} \newcommand\dif{\mathrm{d}} \newcommand\dlim[2]{\lim_{h\to 0}\dfrac{#1}{#2}} \]

前言

本文偏实用向，主要面向高中阶段的 OIer 补充部分算法（如牛顿迭代）的前置知识，内容几乎处处不严谨，学数学的不要看！

极限

设函数 \(f(x)\) 在 \(x=u\) 附近有定义（不要求 \(f(u)\) 有定义），若存在数 \(a\)，满足对任意的正数 \(\varepsilon >0\)，都存在 \(\delta > 0\)，使得 \(0<|x-u|<\delta\) 时，总有 \(|f(x)-a|<\varepsilon\)，则称 \(a\) 为 \(f(x)\) 在 \(x\) 趋于 \(u\) 处的极限，记作

\[\lim_{x\to u}f(x)=a \]

如果不好理解，可以理解为当 \(x\) 无限接近 \(u\) 时 \(f(x)\) 无限接近 \(a\) 且不存在比 \(a\) 更接近 \(f(x)\) 的数。实在不能理解也不影响后续推导。

有以下两个重要极限，数学家们已经帮我们证明了

\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \]

\[\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e \]

设 \(\lim_{x\to x_0}f(x)=a\)，\(\lim_{x\to x_0}g(x)=b\)，其中 \(a,b\in[-\infty,+\infty]\)，那么极限有以下运算法则

法则	公式	条件
加减法则	\(\lim f(x)\pm g(x)=a\pm b\)
乘法法则	\(\lim f(x)g(x)=ab\)
除法法则	\(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{a}{b}\)	\(b\neq 0\)
数乘法则	\(\lim Cf(x)=Ca\)	\(C\) 为常数
幂指法则	\(\lim f(x)^{g(x)}=a^b=\exp\lim a\ln b\)	\(f(x),g(x)\) 性质很好
复合法则	\(\lim f(g(x))=f(\lim g(x))\)	\(f(x),g(x)\) 性质很好
洛必达法则	\(\lim \dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}\)	形式上 \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{0}{0}\) 或 \(\dfrac{\infty}{\infty}\)

（简便起见我们省略 \(x\to x_0\)）

受限于篇幅，这些法则我们不证。

导数定义

对于函数 \(y=f(x)\)，其导数定义为

\[y'=f'(x)=\dlim{f(x+h)-f(x)}{h} \]

导数也常表示为

\[\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x) \]

这种记法称为莱布尼茨记法，可以明确的表示微分的自变量。

在某一区间上可导的函数通常满足在该区间上上式有定义，如果没定义那就凭感觉导。

导数的导数称为二阶导数，记作

\[f''(x)=\dfrac{\dif^2}{\dif x^2}f(x) \]

以此类推，可以有 \(n\) 阶导数，记为

\[f^{(n)}(x)=\dfrac{\dif^n}{\dif x^n}f(x) \]

也可以用 \(n\) 个撇号来表示。二阶及以上的导数统称为高阶导数。

特别的，\(f^{(0)}(x)\) 一般认为是原函数。

求导法则

本节的法则遵循直觉主义原则推导，假设函数的性质都很好

线性法则

求导运算是线性的，满足

\[\boxed{ \begin{aligned} (f(x)\pm g(x))'&=f'(x)\pm g'(x)\\ (cf(x))'&=cf'(x) \end{aligned}} \]

\[\begin{aligned} (f(x)\pm g(x))'&=\dlim{f(x+h)\pm g(x+h)-f(x)\mp g(x)}{h}\\ &=\dlim{f(x+h)-f(x)}{h}\pm\dlim{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &=f'(x)\pm g'(x) \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} (cf(x))'&=\dlim{cf(x+h)-cf(x)}{h}\\ &=c\dlim{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=cf'(x) \end{aligned} \]

乘法法则

\[\boxed{ (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) } \]

\[\begin{aligned} (f(x)g(x))'&=\dlim{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=\dlim{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}\\ &=\dlim{g(x+h)[f(x+h)-f(x)]+f(x)[g(x+h)-g(x)]}{h}\\ &=g(x)\dlim{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\dlim{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{aligned} \]

除法法则

\[\boxed{\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}} \]

借助乘法法则、链式法则与幂函数的导数，我们给出推导

\[\begin{aligned} \left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'&=(f(x)(g(x))^{-1})'\\ &=f'(x)(g(x))^{-1}+f(x)((g(x))^{-1})'\\ &=\dfrac{f'(x)}{g(x)}+f(x)(-(g(x))^{-2}g'(x))\\ &=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} \end{aligned} \]

复合函数链式法则

复合函数 \(f(g(x))\) 常记为 \((f\circ g)(x)\)

\[\boxed{(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)} \]

\[\begin{aligned} (f(g(x)))'&=\dlim{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\\ &=\dlim{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &=\lim_{k\to 0}\dfrac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}\cdot\dlim{g(x+h)-g(x)}{h}&&(k=g(x+h)-g(x))\\ &=f'(g(x))g'(x) \end{aligned} \]

反函数法则

设 \(y=f(x)\) 与 \(x=g(y)\) 互为反函数，有

\[\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{g'(y)}} \]

\[\begin{aligned} g(f(x))&=x\\ g'(f(x))f'(x)&=1\\ f'(x)&=\dfrac{1}{g'(y)} \end{aligned} \]

求导法则总表

\[\begin{aligned} (u\pm v)'&=u'\pm v'\\[6pt] (Cy)'&=Cy'\\[6pt] (uv)'&=u'v+uv'\\[6pt] \left(\dfrac{u}{v}\right)'&=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\\[6pt] (f\circ g)'(x)&=f'(g(x))g'(x)\\[6pt] f'(x)&=\dfrac{1}{(f^{-1})'(f(x))} \end{aligned} \]

部分公式采用莱布尼茨记法可能更直观

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u\pm v) &= \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \pm \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \\[6pt] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(Cy) &= C\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \\[6pt] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(uv) &= \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v + u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} \\[6pt] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{u}{v}\right) &= \frac{\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}v - u\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}{v^2} \\[6pt] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} &&& (y=f(u), u=g(x)) \\[6pt] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{1}{\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}} &&& (y=f(x), x=f^{-1}(y)) \end{aligned} \]

基本初等函数的极限

常函数

\[\boxed{c'=0} \]

\[\begin{aligned} f'(x)&=\dlim{c-c}{h}\\ &=0 \end{aligned} \]

整数指数幂函数

\[\boxed{(a^n)'=na^{n-1}} \]

利用二项式定理或者数学归纳法均可证明，证明留做习题答案略。后面有实数指数幂的证明。

指数函数

指数函数常使用 \(\exp x=e^x\) 表示

\[\boxed{(e^x)'=e^x} \]

\[\begin{aligned} f'(x)&=\dlim{e^{x+h}-e^x}{h}\\ &=e^x\dlim{e^{h}-1}{h}\\ &=e^x\lim_{t\to \infty}\dfrac{e^{\frac{1}{t}}-1}{\frac{1}{t}}\\ &=e^x\lim_{t\to \infty}t\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{t\cdot\frac{1}{t}}-t\\ &=e^x \end{aligned} \]

对数函数

\[\boxed{(\ln x)'=\dfrac{1}{x}} \]

\[y=\ln x,x=e^y\\ \begin{aligned} y'&=\dfrac{1}{(e^y)'}\\ &=\dfrac{1}{e^y}\\ &=\dfrac{1}{x} \end{aligned} \]

幂函数

\[\boxed{(x^a)'=a x^{a-1}} \]

\[\begin{aligned} (x^a)'&=(e^{a\ln x})'\\ &=e^{a\ln x}\cdot\dfrac{a}{x}\\ &=ax^{a-1} \end{aligned} \]

三角函数

\[\boxed{ \begin{aligned} (\sin x)'&=\cos x\\ (\cos x)'&=-\sin x\\ (\tan x)'&=\dfrac{1}{\cos^2 x} \end{aligned} } \]

\[\begin{aligned} (\sin x)'&=\dlim{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\ &=\dlim{\cos x\sin h+\sin x\cos h-\sin x}{h}\\ &=\cos x\cdot\dlim{\sin h}{h}\\ &=\cos x \end{aligned} \]

余弦函数可以借助 \(\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\) 证明，正切同理。

反三角函数

\[\boxed{ \begin{aligned} (\arcsin x)'&=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arcsin x)'&=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x)'&=\dfrac{1}{1+x^2} \end{aligned} } \]

\[y=\arcsin x,x=\sin y\\ \begin{aligned} (\arcsin x)'&=\dfrac{1}{(\sin y)'}\\ &=\dfrac{1}{\cos \arcsin x}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2\arcsin x}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned} \]

其余函数同理。

基本初等函数导数总表

原函数 \(f(x)\)	导函数 \(f'(x)\)	定义域
常数函数
\(C\)（常数）	\(0\)	\((-\infty, +\infty)\)
幂函数
\(x^n\)（\(n\in\mathbb{Q}\)）	\(nx^{n-1}\)	\(x\neq 0\)（当 \(n<0\) 时）或 \((-\infty, +\infty)\)（当 \(n>0\) 时）
\(x^\alpha\)（\(\alpha\in\mathbb{R}\)）	\(\alpha x^{\alpha-1}\)	\(x>0\)
指数函数
\(a^x\)（\(a>0, a\neq 1\)）	\(a^x\ln a\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(e^x\)	\(e^x\)	\((-\infty, +\infty)\)
对数函数
\(\log_a x\)（\(a>0, a\neq 1\)）	\(\frac{1}{x\ln a}\)	\((0, +\infty)\)
\(\ln x\)	\(\frac{1}{x}\)	\((0, +\infty)\)
\(\ln|x|\)	\(\frac{1}{x}\)	\((-\infty, 0)\cup(0, +\infty)\)
三角函数
\(\sin x\)	\(\cos x\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\tan x\)	\(\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\)	\(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
\(\cot x\)	\(-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}\)	\(x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
\(\sec x\)	\(\sec x\tan x\)	\(x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
\(\csc x\)	\(-\csc x\cot x\)	\(x\neq k\pi, k\in\mathbb{Z}\)
反三角函数
\(\arcsin x\)	\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\((-1, 1)\)
\(\arccos x\)	\(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)	\((-1, 1)\)
\(\arctan x\)	\(\frac{1}{1+x^2}\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\mathrm{arccot\ } x\)	\(-\frac{1}{1+x^2}\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\mathrm{arcsec\ } x\)	\(\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)	\(|x|>1\)
\(\mathrm{arccsc\ } x\)	\(-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\)	\(|x|>1\)
双曲函数
\(\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}\)	\(\cosh x\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\)	\(\sinh x\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}\)	\(\text{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}\)	\(-\text{csch}^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x}\)	\(x\neq 0\)
\(\text{sech } x = \frac{1}{\cosh x}\)	\(-\text{sech } x\tanh x\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\text{csch } x = \frac{1}{\sinh x}\)	\(-\text{csch } x\coth x\)	\(x\neq 0\)
反双曲函数
\(\text{arsinh } x = \ln(x+\sqrt{x^2+1})\)	\(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)	\((-\infty, +\infty)\)
\(\text{arcosh } x = \ln(x+\sqrt{x^2-1})\)	\(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)	\([1, +\infty)\)
\(\text{artanh } x = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}\)	\(\frac{1}{1-x^2}\)	\((-1, 1)\)
\(\text{arcoth } x = \frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}\)	\(\frac{1}{1-x^2}\)	\(|x|>1\)
\(\text{arsech } x = \ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\)	\(-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\)	\((0, 1]\)
\(\text{arcsch } x = \ln\left(\frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}\right)\)	\(-\frac{1}{|x|\sqrt{1+x^2}}\)	\(x\neq 0\)

一些技巧

对数求导法

对于函数

\[y=u^v \]

常使用变形

\[y=e^{u\ln v} \]

并应用求导法则求导。也可以通过直接取对数的方式求导

\[\begin{aligned} \ln y&=v\ln u\\ \dfrac{y'}{y}&=(v\ln u)'\\ y'&=u^{v}[v'\ln u+v\cdot \dfrac{u'}{u}] \end{aligned} \]

一个典型的例子是幂指函数

\[\begin{aligned} (x^x)'&=(e^{x\ln x})'\\ &=e^{x\ln x}(\ln x+1)\\ &=x^x(\ln x+1) \end{aligned} \]

对于连乘函数的导数，使用对数也可以简便计算

\[\begin{aligned} y&=\prod_{i\in I}y_i\\ \ln y&=\sum_{i\in I}\ln y_i\\ \dfrac{y'}{y}&=\sum_{i\in I}\dfrac{y_i'}{y_i}\\ y'&=y\sum_{i\in I}\dfrac{y_i'}{y_i} \end{aligned} \]

参数方程求导

平面上的曲线总是可以对应一个参数方程

\[\left\{\begin{aligned} x=\varphi (t)\\ y=\psi (t) \end{aligned} \quad (\alpha \leq t\leq \beta) \right. \]

若存在 \(x=\varphi (t)\) 的反函数 \(t=\varphi^{-1}(x)\)，那么有复合函数

\[y=\psi\circ\varphi^{-1}(x) \]

于是有 \(y\) 关于 \(x\) 的导函数

\[\dfrac{\dif y}{\dif x}=\dfrac{\dif y}{\dif t}\cdot\dfrac{\dif t}{\dif x}=\dfrac{\dif y}{\dif t}\Big /\dfrac{\dif x}{\dif t}=\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \]