奥赛一本通 1432 糖果传递

1432 糖果传递

题目大意

给定一个环形正整数序列 $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$，相邻的两个数可以传递数值，代价就是数值大小，求使每个数都相等的最小代价。

知识要点

贪心、绝对值

解题思路

将 $n$ 个数的平均值记为 $v$，每个数向右传递的数值为 $x_i$ （负数则理解为 $(i+1)$ 向左传递），那么有 $a_i + x_{i-1} - x_i = v$，于是 $x_i = x_{i-1} + a_i - v = x_0 + \sum_{k=1}^i(a_i - v)$。如果记 $b_i = \sum_{k=1}^i(v - a_i)$，最终的总代价为 $$|x_0| + |x_1| + |x_2| + \dots + |x_{n-1}| = |x_0| + |x_0 - b_1| + |x_0 - b_2| + \dots + |x_0 - b_{n-1}| $$

根据绝对值的意义，当 $x_0$ 是数组 $b_i$ 的中位数时可以取得最小值。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1000005;
long long a[N], b[N], v, ans;
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld", &a[i]), v += a[i];
    v /= n;

    for(int i = 1; i < n; i++) b[i] = b[i - 1] + v - a[i];
    nth_element(b, b + n / 2, b + n); //取中位数
    for(int i = 0; i < n; i++) ans += abs(b[i] - b[n / 2]);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}