矩阵结合律的证明-2019.11.29

学习日志—矩阵
矩阵的乘法
证明矩阵乘法的结合律，即证A(BC)=(AB)C
先令出三个矩阵

A_{m*n}; B_{n*p}; C_(p*q)

先看等式右边(AB)C 新矩阵第i行第j列的元素就是AB相乘后的第i行与C的第j列各元素相乘的和 A的第i行乘以B的第1列如下：

\begin{equation} \left[ \begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & … & a_{in} \end{array} \right ] \left[ \begin{array}{c} b_{11}\\ b_{12}\\ ... \\ b_{1n} \end{array} \right ] \end{equation}

所以AB的第i行的n个元素就是A的第i行乘上B的每一列。（AB）C的第（i，j）个元素计算如下：

\begin{equation} (AB)C_{(i,j)} = (\sum_{r=1}^n a_{ir}b_{r1}, \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{r2}, …, \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rp}) \left( \begin{array}{c} c_{1j}\\ c_{2j}\\ …\\ c_{rj} \end{array} \right) \\ =c_{1j}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})+ c_{2j}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})+…+ c_{qj}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})\\ = \sum_{k=1}^q c_{kj}\sum_{r=1}^n(a_{ir}b_{rk})\\ = \sum_{k=1}^q \sum_{r=1}^n c_{kj}(a_{ir}b_{rk}) %调换了一下位置 \end{equation}

所以BC的第i列的n个元素就是B的第每一行乘上C的第i列。A（BC）的第（i，j）个元素计算如下：

\begin{equation} A(BC)_{(i,j)} = \left( \begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{ir} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \sum_{k=1}^p\\ b_{1k}c_{kj}\\ \sum_{k=1}^p\\ b_{2k}c_{kj}\\ ...\\ \sum_{k=1}^p\\ b_{nk}c_{kj} \end{array} \right) = \sum_{k=1}^p \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rk}c_{kj} \end{equation}