矩阵结合律的证明-2019.11.29

学习日志—矩阵
矩阵的乘法
证明矩阵乘法的结合律,即证A(BC)=(AB)C
先令出三个矩阵


A_{mn}; B_{np}; C_(p*q)


先看等式右边(AB)C
新矩阵第i行第j列的元素就是AB相乘后的第i行与C的第j列各元素相乘的和
A的第i行乘以B的第1列如下:


\begin{equation}
\left[
\begin{array}{cccc}
a_{i1} & a_{i2} & … & a_{in}
\end{array}
\right ]
\left[
\begin{array}{c}
b_{11}\
b_{12}\
... \
b_{1n}
\end{array}
\right ]
\end{equation}

所以AB的第i行的n个元素就是A的第i行乘上B的每一列。(AB)C的第(i,j)个元素计算如下:


\begin{equation}
(AB)C_{(i,j)}
=
(\sum_{r=1}^n a_{ir}b_{r1}, \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{r2}, …, \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rp})
\left(
\begin{array}{c}
c_{1j}\
c_{2j}\
…\
c_{rj}
\end{array}
\right)
\
=c_{1j}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})+ c_{2j}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})+…+ c_{qj}(\sum_{r=1}^n a_{ij}b_{ij})\
=
\sum_{k=1}^q c_{kj}\sum_{r=1}^n(a_{ir}b_{rk})\
=
\sum_{k=1}^q \sum_{r=1}^n c_{kj}(a_{ir}b_{rk}) %调换了一下位置
\end{equation}

所以BC的第i列的n个元素就是B的第每一行乘上C的第i列。A(BC)的第(i,j)个元素计算如下:


\begin{equation}
A(BC){(i,j)}
=
\left(
\begin{array}{cccc}
a
{i1} & a_{i2} & ... & a_{ir}
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^p\ b_{1k}c_{kj}\
\sum_{k=1}^p\ b_{2k}c_{kj}\
...\
\sum_{k=1}^p\ b_{nk}c_{kj}
\end{array}
\right)
=
\sum_{k=1}^p \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rk}c_{kj}
\end{equation}

posted @ 2019-11-29 18:08  宁致桑  阅读(...)  评论(... 编辑 收藏