菲波那契数列及其神秘性质

递推式：

定义

\[f_i=\begin{cases} 0&i=0\\1&i=1\\f_{i-1}+f_{i-2}&2\leq i\end{cases} \]

\[f = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89\dots \]

可以表示成矩阵

\[\begin{bmatrix}f_{n-1}&f_n\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}^n \]

通项：

齐次线性递推模板

\[f_n=\frac{\sqrt 5}{5}\Big(\frac{1+\sqrt 5}{2}^n-\frac{1-\sqrt 5}{2}^n\Big) \]

前缀和

\[S_n = \sum_{i=0}^n f_i \]

\[f = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,\dots \]

\[S=0,1,2,4,7,12,20,33,\dots \]

注意到 \(S_n=f_{n+2}-1\)

可以通过数学归纳法证明

\[f_{n+2}-1=f_{n+1}-1+f_{n} \]

奇偶数项前缀和

\[S0_n = \sum_{i=0}^n f_{2i} \]

\[S1_n = \sum_{i=0}^n f_{2i + 1} \]

\[f = 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89\dots \]

\[S0=0,1,4,12,33,88,\dots \]

\[S1=1,3,8,21,55,\dots \]

\[S0_n=f_{2n+1}-1 \]

\[S1_n=f_{2n+2} \]

这是因为差分数组和原序列奇偶项相同。

相隔再大的前缀和不再有类似性质，（至少没有显然的

平方前缀和

\[\sum_{i=0}^{n} f_i^2=f_nf_{n+1} \]

所有这些都可以通过数学归纳法证明

组合数

\[f_n=\sum_{i=0}^{+\infty}\binom{n- i-1}{i} \]

原因是递推式

\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m} \]

与菲波那契递推式相同，并且恰好首项相等。

gcd

我见过最神奇的性质

\[\gcd(f_{i},f_{j})=f_{\gcd(i,j)} \]

这是因为其有辗转相减类似递推式

神秘

\[f_n^2+(-1)^{n}=f_{n-1}f_{n+1} \]