整体二分

前言

整体二分

整体二分是二分一种类型，其运用了分治思想来将二分拓展到多个询问。

整体二分更多是一种思想，而非特定算法，所以我们用题目的方式引入。

题目

给定一个 \(n\) 个数的数组 \(a\)。
\(q\) 次询问，每次求 \(a\) 中第 \(k_i\) 小的值。

显然，此题一个排序就结束了。

但是我们来使用整体二分解决，以演示整体二分的思路。

解法

对于单个询问，我们可以使用二分的方法在较长的时间内求得答案。

即二分答案 \(ans\)，计算小于 \(ans\) 的数的个数，并将此与 \(k_i\) 对比。

但显然，对于多个询问，本就时间复杂度爆炸的二分时间复杂度已经消失了。

但是若模拟每个询问的二分过程，容易发现，对于一些二分过程中的 \(ans\)，我们实际上重复计算了许多次小于 \(ans\) 的数的个数。

我们优化这个算法可以从此下手。

整体二分，就是整体一起二分。对于一个 \(ans\)，\(a\) 中小于 \(ans\) 的数的个数记为 \(k_0\)，我们可以拿所有需要判断的询问一起来判断。

对于每个需要的判断询问 \(j\)，我们将 \(k_j\) 与 \(k_0\) 对比。最终将这些询问按照与 \(k_0\) 的大小分为两部分。

然后，我们继续对这两个询问分别二分。

大致过程如下：

solve(l, r, Q):
	if l == r:
		for i in Q:
			ans[i] = l
		end
	mid = (l + r) / 2
	k0 = a 中小于 mid 的数的个数。
	for i in Q:
		if k[j] <= k0:
			push j in Q1
		else:
			push j in Q2
	solve(l, mid, Q1)
	solve(mid + 1, r, Q2)
end

容易计算，这个算法的时间复杂度约为 \(O(q\log n\log v)\)（其中，\(v\) 为 \(a_i\) 的值域大小）。

题目

给定一个 \(n\) 个数的数组 \(a\)。
\(q\) 次询问，每次求 \(a\) 中区间 \([l_i,r_i]\) 内第 \(k_i\) 小的值。

解法

其实本题与上题差别不大，我们还是利用整体二分的思想，二分值域划分询问。

由于新增了区间 \([l_i, r_i]\) 的限制，我们无法对每个询问 \(i(1\leq i \leq q)\) 都直接使用相同的 \(k_0\)，而是需要分别计算在区间 \([l_i, r_i]\) 中小于 \(ans\) 的数的个数。

我们需要用到数据结构，一般使用树状数组，此处使用单修区查。

我们可以枚举每个位置 \(i(1\leq i \leq n)\)，若 \(a_i \leq ans\)，则在树状数组位置 \(i\) 上加入值 \(1\)，否则为值 \(0\)。

于是对于区间 \([l_i, r_i]\) 中小于 \(ans\) 的数个数的计算则变成区间查询。

但是注意，此处时间复杂度仍然较大，因为我们需要枚举每个 \(i(1\leq i\leq n)\)。

即使我们储存每个询问可能需要用到的 \(a_i\)，在分治递归时下传，我们依旧需要所有 \(a_i(1\leq i \leq n, a_i\leq ans)\)，会 \(TLE\)

所以说我们稍微更改算法。

对于我们当前同一处二分的所有询问集合，记为 \(Q\)，当前二分的值域区间 \([l,r]\)，设 \(L\) 为 \(l\) 在 \(a_i\) 中的排名，\(R\) 为 \(r\) 在 \(a_i\) 中的排名。我们有

\[(\forall i \in Q)(L\leq k_i\leq R) \]

此时在用 \(mid\) 划分询问时，我们要用到所有 \(a_i(1\leq i \leq n, a_i\leq mid)\)。为了减少时间复杂度，我们则需要减少使用到的 \(a_i\) 的个数。

注意到，上式可以转化为：

\[(\forall i \in Q)(1\leq k_i - L + 1\leq R - L + 1) \]

此时，\(k_i\) 相当于在值域区间 \([l, r]\) 内的 \(a_i\) 中排名为 \(k_i - L + 1\) 的数。

若再用 \(mid\) 划分询问，我们则只需要用到 \(a_i(1\leq i \leq n, l\leq a_i\leq mid)\)，时间复杂度从 \(O(n)\) 降到了 \(O(\log n)\)

于是我们可以考虑对每个询问 \(i\)，在二分途中更改 \(k_i\)，使得答案在值域区间 \([l, r]\) 内的 \(a_i\) 中排名为 \(k_i\)。

实现很简单，我们在划分询问时，若询问 \(j\) 被分到右区间 \([mid + 1, r]\)，我们则将 \(k_j\) 减取 \(k_0\)。因为在询问 \(j\) 的询问区间 \([l_j, r_j]\) 中，值域区间 $[l, r] 中，小于 \(mid + 1\) 这个值的 \(a_i\) 有 \(k_0\) 个。

过程如下：

solve(l, r, A, Q)://A 为 a[i] 属于 [l, r] 的下标 i 的集合
	if l == r:
		for i in Q:
			ans[i] = l
		end
	mid = (l + r) / 2
	for i in A:
		if a[i] <= mid:
			add(i, 1)//在第 i 个位置插入 i，使用数据结构维护
			push i in A1
		else:
			push i in A2
	for i in Q:
		k0 = query(l[j], r[j])//查询 l[j], r[j] 之间大于等 l 小于等于 mid 的数的个数。
		if k[j] <= k0:
			push j in Q1
		else:
			k[j] = k[j] - k0//修改排名
			push j in Q2
	solve(l, mid, A1, Q1)
	solve(mid + 1, r, A2, Q2)
end

时间复杂度约为 \(O(q\log n\log v)\)（其中，\(v\) 为 \(a_i\) 的值域大小）。

题目

给定一个 \(n\) 个数的数组 \(a\)。
\(q\) 次操作，第 \(i\) 次：

• 若 \(op_i = 0\)，求 \(a\) 中区间 \([l_i,r_i]\) 内第 \(k_i\) 小的值。
• 若 \(op_i = 1\)，将 \(a\) 中第 \(x_i\) 个数，即 \(a_{x_i}\) 修改为 \(k_i\)。

解法

我们需要支持修改操作。

实际上，我们划分询问的操作并没有将操作时间先后顺序打乱。我们把修改操作也当作一次询问，丢到询问数组中，我们直接从上往下遍历操作（修改的操作直接修改，询问的操作直接回答），得到的就是正确答案。

现在的问题是，如何划分操作。我们要把修改操作划分到 \([l, mid]\)、\([mid + 1, r]\) 中哪个区间？

修改操作有关值域区间的只有原来的值与修改后的值，我们可以把修改操作分成两个操作。

插入和删除，这样，一个修改的操作只会影响一个值的个数，我们便可以将其划分到其修改的值所对应的区间。

想明白这点之后，就会发现这题与前一题写法差不多。

solve(l, r, OP)://OP 操作集合
	if l == r:
		for i in OP:
			ans[i] = l
		end
	mid = (l + r) / 2
	for i in OP:
		if op[i] == 1://修改操作
			if a[i] <= mid:
				update//相对应的在数据结构中修改
				push i in OP1
			else:
				push i in OP2
		else://询问操作
			k0 = query(l[j], r[j])//查询
			if k[j] <= k0:
				push j in OP1
			else:
				k[j] = k[j] - k0//修改排名
				push j in OP2
	solve(l, mid, OP1)
	solve(mid + 1, r, OP2)
end

时间复杂度依旧。

总结

至此，我们将整体二分在带修区间第k小题目中讲解完了。

整体二分应用不止于此，但主要解决可二分的多次询问类题目。

主要思想就是将多个询问一起二分，每次划分成两组询问，再分别二分。