【高中数学】平面向量

向量定义

有方向，有大小的量称为向量，没方向只有的大小的量称为数量。
线段 \(AB\)，我们对其两端规定顺序，则 \(AB\) 就成了有向线段。

我们就可以用 \(AB\) 来表示一个向量（但有向线段并不是向量），如果 \(A\) 为起点，\(B\) 为终点，则这个向量写作 \(\overrightarrow{AB}\)。

向量在平面中是可以平移的，起点终点只是初始位置的起点终点。

向量的模：向量 \(\overrightarrow{AB}\) 的模写作 \(|\overrightarrow{AB}|\)，代表 \(\overrightarrow{AB}\) 的长度。

零向量：模为 \(0\) 的向量则称为 \(0\) 向量，记做 \(\vec0\)，\(\vec0\) 不是没有方向，是可以任意方向。

单位向量：长度为一个单位的向量被称为单位向量。

相等向量：长度和方向都相同的向量才能叫相等向量，记做 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)。

相反向量：长度相等，方向相反的向量称为相反向量，记做 \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\)。

共线向量：方向相同或相反的向量称为共线向量，记做 \(\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{BC}\)。共线向量又称平行向量。（零向量与任意向量平行）

向量运算

向量相加

平行四边形法则

首先，让两个向量尾尾相接，然后以 \(AB\)，\(AC\) 为边做一个平行四边形，则 \(\overrightarrow{AD}\) 为答案。
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\)

三角形法则

若两个向量 \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\) 首尾相接，则连接 \(AC\)， \(\overrightarrow{AC}\) 就是答案（注意向量方向）。

向量和数相乘

一个向量 \(\overrightarrow{AB}\)，乘以 \(k\)，相当于将 \(\overrightarrow{AB}\) 长度扩大 \(k\) 倍。
若乘以负数，则将这个向量取反，\(\overrightarrow{AB}\) 变成 \(\overrightarrow{BA}\)。

向量相乘（内积）

向量的夹角：将两个向量的起点放在一起，则此时两条向量构成的角为两个向量的夹角。

向量的投影：将两个向量起点重合（假设 \(\vec a = \overrightarrow{OA}, \vec b = \overrightarrow{OB}\)），\(\vec b\) 的终点向 \(\vec a\) 做垂线，交 \(\vec a\) 于点 \(C\)，则 \(|\overrightarrow{OC}|\) 为 \(\vec b\) 在 \(\vec a\) 方向的投影。（\(|\overrightarrow{OC}|=|\vec b|\cos\theta,\theta=\angle AOB\)）

向量的内积：也称点乘，两个向量 \(\vec a,\vec b\) 的内积为 \(|\vec a||\vec b|\cos\theta(\theta=\angle AOB)\)，写作 \(\vec a \cdot \vec b\)。（内积是一个数量）

向量运算定律

交换律

\(\vec a + \vec b=\vec b+\vec a\)
\(\vec a \cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a\)

结合律

\(\vec a + (\vec b+\vec c)=(\vec a+\vec b)+\vec c\)
\((mn)\vec a=m(n\vec a)=n(m\vec a)\)
\((\lambda\vec a)\vec b=(\lambda\vec b)\vec a=\lambda(\vec b\cdot\vec a)\)

分配律

\(k(\vec a + \vec b)=k\vec a+k\vec b\)
\((m+n)\vec a=m\vec a+n\vec a\)
\((\vec a + \vec b)\vec c = \vec a\cdot\vec c +\vec b\cdot\vec c\)

其他

\(\vec a + \vec 0=\vec a\)
\(\vec a - \vec b=\vec a+(-\vec b)\)

向量运算推论

\(\cos\theta=\dfrac{\vec a \cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\)

\(\vec a ⊥ \vec b\Leftrightarrow \vec a\cdot\vec b=0\)

\(|\vec a|^2=\vec a^2\)

向量坐标化

基底

若 \(\vec i,\vec j\) 为同一平面内两个不平行的向量，那么该平面内任意向量 \(\vec a\)，都存在唯一的 \(a_x,a_y\) 使：

\[\vec a = a_x\vec i + a_y \vec j \]

这时，向量 \(\vec i,\vec j\) 表示该平面内向量的一组基底，记做：\(\{\vec i,\vec j\}\)，\(a_x\vec i + a_y \vec j\) 叫做向量 \(\vec a\) 关于基底 \(\{\vec i, \vec j\}\) 的分解式。

向量坐标化定义

在平面直角坐标系中，分别取 \(x\) 轴、\(y\) 轴正方向两个单位向量 \(\{\vec i,\vec j\}\) 作为基底，则任意向量 \(\vec a\) 都可以唯一的表示成 \((x, y)\) 的形式，使 \(\vec a = x\vec i + y \vec j\)。这时，我们称 \((x, y)\) 为向量 \(\vec a\) 的坐标，记做 \(\vec a = (x, y)\)，这就是向量的坐标表示。

平面直角坐标系中，两个点 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) 表示的向量 \(\overrightarrow{AB}\) 用向量的坐标表示法表示成 \((x_2-x_1,y_2-y_1)\)。

坐标化向量的运算

设向量 \(\vec a = (x_1,y_1),\vec b =(x_2,y_2)\)
\(\vec a\pm\vec b=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2)\)
\(\lambda\vec a = (\lambda x_1,\lambda y_1)\)
\(|\vec a|=\sqrt{{x_1}^2 +{y_1}^2}\)
\(\vec a\cdot\vec b = x_1x_2+y_1y_2\)

向量的定理

向量共线定理

若存在实数 \(\lambda\)，使得 \(\vec a =\lambda\vec b\)，则 \(\vec a \parallel\vec b\)

平面上三点 \(A,B,C\)，若存在另一点 \(P\)，使得存在实数 \(\lambda,\mu\)，满足 \(\lambda +\mu = 1\) 且 \(\overrightarrow{PA}=\lambda\overrightarrow{PB}+\mu\overrightarrow{PC}\)，则 \(A,B,C\) 三点共线。

奔驰定理

在 \(\triangle ABC\) 中取一点 \(P\)。

则满足 \(S_{\triangle PBC}\overrightarrow{PA}+S_{\triangle PAC}\overrightarrow{PB}+S_{\triangle PAB}\overrightarrow{PC} = \vec 0\)。

向量与三角形四心

若 \(G\) 为 \(\triangle ABC\) 重心：\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec 0\)
若 \(O\) 为 \(\triangle ABC\) 外心：\(\overrightarrow{OA}\sin 2A+\overrightarrow{OB}\sin2B+\overrightarrow{OC}\sin2C=\vec 0\)
若 \(I\) 为 \(\triangle ABC\) 内心：\(\overrightarrow{IA}\sin A+\overrightarrow{IB}\sin B+\overrightarrow{IC}\sin C=a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\vec 0\)（\(a,b,c\) 为 \(\angle A,\angle B,\angle C\) 对边）
若 \(H\) 为 \(\triangle ABC\) 垂心：\(\overrightarrow{HA}\tan A+\overrightarrow{HB}\tan B+\overrightarrow{HC}\tan C=\vec 0\)

极化恒等式

在 \(\triangle ABC\) 上，\(D\) 为 \(BC\) 中点。则有 \(\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC}=AD^2-\frac{1}{4}BC^2\)，这个式子即为极化恒等式。