【高中数学】集合

集合相关概念

集合定义

我们一般将研究对象称为元素，把一些确定的元素组成的整体称作集合。
一般来说，用大写字母表示集合。

\(\varnothing\) 空集
\(\mathbb{N}\) 自然数集
\(\mathbb{Z}\) 整数集
\(\mathbb{Q}\) 有理数集
\(\mathbb{R}\) 实数集
\(\mathbb{C}\) 复数集

在以上字母表示的集合中，若在右下角添加 \(+\) 或 \(-\) 则表示只取集合的正数或负数部分，若在右上角添加 \(*\) 则表示不取集合中的元素 \(0\)。例如：\(\mathbb N^*\) 和 \(\mathbb{Z}_+\) 都代表正整数，\(\mathbb Z_-\) 代表负整数。

集合表示方法

列举法：花括号中将集合所有元素一一列出，\(\{a,b,c,d\}\)
描述法：设 \(A\) 为一个集合，则我们把 \(A\) 中具有的共同特征 \(P(x)\) 的元素 \(x\) 所组成的集合表示为 \(\{x \in A| P(x)\}\)。

集合性质

确定性：任意一个元素能被明确规定是否在集合中
互异性：集合中没有完全相同的两个元素，\(\{a,b\},a\not=b\)
无序性：集合中元素无序，\(\{1,2,3\} =\{3,2,1\}\)

集合关系

集合与元素

\(a\in A\)：\(a\) 属于\(A\)，元素 \(a\) 在集合 \(A\) 中。
\(a\notin A\)：\(a\) 不属于\(A\)，元素 \(a\) 不在集合 \(A\) 中。

集合与集合

\(A\subset B\)：\(A\) 包含于 \(B\)，\(A\) 为 \(B\) 子集。
\(A \supset B\)：\(A\) 包含 \(B\)，\(B\) 为 \(A\) 的子集。
\(A ⫋ B\)：\(A\) 真包含于 \(B\)，\(A\) 为 \(B\) 的真子集。（\(A\subset B，A\not=B\)）
\(A ⫌ B\)：\(A\) 真包含 \(B\)，\(B\) 为 \(A\) 的真子集。 （\(A\supset B，A\not=B\)）

集合的运算

\(A \cup B\)：\(A\) 并 \(B\)，取 \(A\) 或 \(B\) 中存在的元素。（\(A \cup B = \{x | x\in A \lor x \in B\}\) ）
\(A \cap B\)：\(A\) 交 \(B\)，取 \(A\) 和 \(B\) 中共同的元素。（\(A \cap B = \{x | x\in A \land x \in B\}\)）
\(A \setminus B\)：\(A\) 差 \(B\)，取 \(A\) 中有但 \(B\) 中没有的元素。（\(A \setminus B = \{x | x\in A \land x \not\in B\}\)）
\(\complement_u A\)： \(A\) 关于 \(u\) 的补集，取 \(u\) 中不在 \(A\) 里的元素，前提是 \(A \subset u\)。（\(\complement_u A = \{x | x\in u \land x \not\in A\}(A\subset u)\)）
\(|A|\)（或 \(\operatorname{card}(A)\)）：集合 \(A\) 的大小。（\(card(\{a,b,c\})=3\)）