模拟频率$f$、模拟角频率$\Omega$、数字频率$\omega$之间的关系

概念

• 模拟频率\(f\)：每秒经历多少个周期，单位Hz

\[\cos(2 \pi f t) \tag{1} \]

• 模拟角频率\(\Omega\)：每秒经历多少弧度，单位rad/s

\[\cos(\Omega t) \tag{2} \]

• 数字频率\(\omega\)：每个采样点间隔之间的弧度，单位rad

\[\cos(\omega n) = \cos(\Omega n T) \tag{3} \]

三者之间的关系

\[\Omega = 2\pi f \tag{4} \]

\[\omega = \Omega T \tag{5} \]

推导：

\[\cos(2\pi f t) = \cos(Ωt) = \cos(ΩnT) = \cos(ΩTn) = \cos(\omega n) \tag{6} \]

重要数学关系：

\[t = nT \tag{7} \]

从时域角度理解

1. 模拟信号周期：经过\(2\pi\)需要多长时间，单位为s

   \(f = 10 Hz\)，则周期为0.1s

2. 数字信号周期： 经过\(2\pi\)需要多少个点，单位为1

   \(f = 10 Hz\)，\(fs = 20 Hz\)，则周期2；

例如

在模拟信号中\(f\)是模拟频率；\(Ω\)是模拟角频率。

比如 \(\sin(Ωt)\) 其中 \(Ω=2 \pi f\)

当对模拟信号进行抽样后

\[t=nT_s \]

其中\(T_s\)为抽样周期，\(T_s=1/fs\)，\(fs\)为抽样频率。

把\(t=nT_s\)回带入式子中，这时 \(\sin(Ωt)\) 就变成了\(\sin(ΩnT_s)\)，此时的角频率称为数字角频率\(\omega\).

\[\omega=ΩT_s \]

即

\[\sin(ΩnT_s)=\sin(\omega n) \]

\[\omega=\frac{Ω}{fs}=\frac{2 \pi f}{fs} \]

此时\(\omega\)也称为数字频率，因为它是一个相对频率（仅仅是一种称呼），这时的\(\omega\)就不能简单的用\(\omega=2\pi f\)来计算了

因为此时\(f\)是谁？不过当把\(f/fs\)当做一个新的\(f\)时也是可以等效为\(\omega=2\pi f\)的。