[SCOI2010] 生成字符串

zzk的互测题真毒瘤，三道题在洛谷上都是紫题......

而且T1是NOI真题，T2是集训队真题，T3是省选真题，难度貌似是递减......

这道题是T3。

洛谷 P1641 传送门

考试的时候是打表做的，30分的很显然了，n²能推出来。

f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j](i<=j),f[0][0]=1。

然后我感觉这个递推式的结构有点像杨辉三角，就打了个表。

发现f(n,m)=C(n+m,n)-C(n+m,n+1)，于是就当场切掉了这道题。

当然打表找规律肯定不是正解。

正解是把这个问题转化为另一种问题。

从(0,0)走到(n+m,n-m),x坐标为'1'和'0'的和，y坐标为'1'和'0'的差。

每次只能向右上或右下走。

右上(x++,y++)就是选了'1'，右下反之。

所以不考虑限制，所有情况是C(n+m,n)（n+m步里有n个选择'1'的步）。

限制是'1'>='0'  ,  '1'-'0'>='0'-'0'

所以y>=0

也就是说，所有走到y=-1的都不合法。

而从(0,0)走到y=-1的都可以对称成从(0,-2)走到y=-1。

所以不合法方案数为C(n+m,n+1)

最终求得答案就是f(n,m)=C(n+m,n)-C(n+m,n+1)。

也有用卡特兰数的解法，我不会。

注意要用线性筛逆元求组合数（不过别的方法貌似也成）。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mod 20100403
#define ll long long
using namespace std;

ll n,m;
ll mul[2000005],inv[2000005];

ll c(ll x,ll y)
{
    return (((mul[x]*inv[x-y])%mod)*inv[y])%mod;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    mul[0]=mul[1]=inv[0]=inv[1]=1;
    ll tot=m+n;
    for(ll i=2;i<=tot;i++)mul[i]=mul[i-1]*i%mod;
    for(ll i=2;i<=tot;i++)inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(ll i=2;i<=tot;i++)inv[i]=inv[i]*inv[i-1]%mod;
    ll ans=((c(tot,n)-c(tot,n+1))%mod+mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}