Hypothetical Judgments 和 Hypothetical Inductive Definitions

Hypothetical Judgements

之前一篇介绍了Judgements和Inductive Definition，这里通过给Judgements加上一些关系，同时扩展下Inductive Definition。

Derivability

Derivability指的是说，由某几个Judgements可以推导出某个Judgement。具体如下$$J_1,...,J_n\vdash_R J$$这个式子的意思就是说，由\(J_1,...,J_n,R\)我们可以推导出\(J\)成立。这里\(R\)是公理集合，而\(J_i\)是临时公理。这个意思是说，当我们承认\(J_i\)成立的时候，我们可以推导出\(J\)。举个例子\(potato~nat\vdash succ(potato)~nat\)。这里当我们知道土豆是一个自然数的时候，那么我们可以推导出来\(succ(potato)\)也是个自然数。但是反过来是不行的：\(succ(potato)~nat\vdash potato~nat\)是不成立的。因为我们没办法推导出来这个结论。

Derivability有几个性质：

• Weakening: 是说，如果\(\Gamma\vdash J\)，并且\(\Gamma\subseteq\Gamma'\)，那么我们有\(\Gamma'\vdash J\)。这个不难理解，当我们已经知道某个结论的时候，如果放宽要求，那么这个结论还是成立的
• Reflexibility: \(J\vdash J\)，是说自己可以推导出自己
• Transitivity: 是说如果\(\Gamma\vdash J\)和\(\Gamma, J\vdash J'\)成立，那么\(\Gamma\vdash J'\)也是成立的。直觉上看就是\(A\)可以推导出\(B\)，同时\(B\)可以推导出\(C\)，那么我们可以直接从\(A\)推导到\(C\)。

Admissibility

Admissibility指的是说，如果某个假设成立，那么我们可以得到某个结论。具体如下$$J_1,..,J_n\vDash_R J$$。这里\(J_1,...,J_n\)是假设，\(R\)是公理集合，而\(J\)是结论。换句话说，如果我们可以通过公理\(R\)推导出结论\(J_1,...,J_n\)，那么我们也可以推导出\(J\)。形式化表示出来是

\[\begin{aligned} &\frac{}{J_1'}~\frac{}{J_2'}~...~\frac{}{J_n'}\\ &\frac{J_1,...,J_n}{J} \end{aligned} \]

这里\(R=\{\frac{}{J_1'},...,\frac{}{J_n'}\}\)。

下面举个例子: \(succ(a)~even\vDash a~odd\)。意思就是，如果\(succ(a)\)是一个偶数，那么\(a\)就是一个奇数。

Admissibility和Derivability对比

这两个概念很容易混淆，所以这里再说一次

• \(J_1,..,J_n\vdash_R J\)是说，通过\(\{J_1,..,J_n\}\cup R\)，我们可以推出\(J\)
• \(J_1,..,J_n\vDash_R J\)是说，如果\(J_1,..,J_n\)成立，那么我们可以由\(R\)推出\(J\)

还是不理解是不是？不要慌，让我们看下下面的例子：

• \(succ(potato)~nat \nvdash ~potato~nat\)
• \(succ(potato)~nat \vDash ~potato~nat\)

这里再复习下什么是\(nat\)，具体可以看上一篇文章。

\[\frac{}{z~\mathtt{nat}}~\frac{a~\mathtt{nat}}{\mathtt{succ}(a)~\mathtt{nat}} \]

\(nat\)是递归定义的，也就是说，首先定义\(z\)是一个\(nat\)。然后如果\(a\)是\(nat\)，那么\(succ(a)\)也是\(nat\)。这两条我们可以看成是上面所说的公理集合\(R\)。然后对于例子1，也就是说我们在公理集合里面加入\(\frac{}{\mathtt{succ}(potato)~\mathtt{nat}}\)是没办法推导出\(potato~nat\)的。

但是对于例子2，确是成立的。证明方法其实在上一章已经说过了，这里不再重复。

不过我们可以证明\(\Gamma\vdash_R J\Rightarrow \Gamma\vDash_R J\)。证明也很简单，如果我们可以通过\(R\)推导出\(\Gamma\)也就是\(\vdash_R\Gamma\)，那么我们就可以通过\(R\)推导出\(J\)也就是\(\vdash_R J\)（通过Transitivity: \(\vdash_R \Gamma, \Gamma\vdash_R J\)）。如果\(\vdash_R\Gamma\)不成立，那么说明\(\Gamma\vDash_R J\)"天然"成立。

同时，Admissibility也有类似于Derivability的性质:

• Reflexibility: \(J\vDash_R J\)
• Transitivity: 如果\(\Gamma\vDash_R K\)并且\(\Gamma,K\vDash_R J\)那么我们有\(\Gamma\vDash_R J\)
• Weakening: 如果\(\Gamma\vDash_R J\)那么\(\Gamma,K\vDash_R J\)

Hypothetical Inductive Definitions

然后让我们把Hypothetical Judgement给整合到Inductive Definitions里面：

\[\frac{\Gamma\Gamma_1\vdash J_1~\Gamma\Gamma_2\vdash J_2~...~\Gamma\Gamma_n\vdash J_n}{\Gamma\vdash J} \]

这里\(\Gamma\)是一个全局假设，也可以看做就是全局的公理，而\(\Gamma_i\)称为局部假设或者局部公理。这个表示当\(J_i\)在假设\(\Gamma\)和\(\Gamma_i\)的情况下成立，那么由\(\Gamma\)则可以推导出\(J\)。具体的在后面介绍具体的类型系统的时候可以体会到。

General Judgement因为目前用不到，所以这里不做介绍。