Inductive Definitions
背景呢还是背景呢
这学期学了一门Type System and Programming Language，感觉是一门很有意思的课。虽然讲的是编程语言，但是很多思想其实工作的时候可能也会用的到。记得老师有一节课说:『你们现在不学习（PL），以后就不会学了。这是你们多数人唯一的机会了』。这门课有个本科生版本的Principles of Programming Languages，多了些写代码的作业，少了点证明，可惜Fall不开。教材是老师自己写的Practical Foundations for Programming Languages，这里只写下我自己的理解，有错了欢迎讨论。
Judgement 和 Inference Rule
一个Judgement就是一组断言，比如说\(\tau~type\)，就是说\(\tau\)是一个类型。再比如\(n~nat\) 就是说\(n\)是一个自然数。从这里看其实就是一个断言。
当我们有多个Judgement的时候，我们可以推导出其余的Judgement。比如说：\(a=3\)并且\(b=5\)，那么在某些条件下面（就是多一些别的规则）我们可以推出来\(a+b=8\)。用正式的语言写出来就是
在PL里面，可以用这种规则来定义一个类型的规则。比如
就是说，如果\(a\)是一个自然数，而且\(b\)也是一个自然数，那么\(a+b\)就是一个自然数。这个就是Inference Rule。
我们如下定义所有的自然数
这里我们首先有\(0\mathrel{\triangleq} z\)。然后如果\(n\)是一个自然数，那么\(succ(n)\)也是一个自然数。这样其实就是说\(1\mathrel{\triangleq} \mathtt{succ}(0)\)，\(n+1\mathrel{\triangleq} \mathtt{succ}(n)\)。
书上的另外一个例子是定义一棵树
就是说，如果我们有两个树，那么着两个子树可以组成另一个树。
其实这种定义的方法，在BNF里面也可以看到，比如
Exp := num | Exp + Exp 就是说一个表达式可以是一个数字也可以是两个表达式的和。
Rule Induction
如果我们要证明某个类型有某种属性，那么我们该怎么证明呢？这里就是用归纳法。
首先让我们会想下数学归纳法。数学归纳法是定义在自然数上的
- 首先证明最简单的情况是对的
- 然后假设当\(n=i\)的时候也是对的
- 最后证明当\(n=i+1\)的时候也是对的
通常\(n=i+1\)是定义在\(n=i\)上面的。
不过如果说我们有\(a_{i+1} = f(a_i , a_{i-1})\)那么我们再第二步还需要假设\(a_{i-1}\)也是对的。现在让我们假设\(f\mathrel{\triangleq} \mathtt{node}\)，然后我们要证明类型\(tree\)满足某个属性\(P\)，那么和数学归纳法类似，我们需要
- 证明\(P(empty)\)，即\(P\)在空树上成立(类似\(n=0\)时，成立)
- 假设当\(a_1~tree\)且\(a_2~tree\)时，\(P(a_1)\) 且\(P(a_2)\)
- 证明\(P(node(a_1, a_2))\)
这就是Rule Induction。其实感觉上就是数学归纳在树形结构上的推广。
最后我们证明如下一个定理来加深一下理解下：
如果\(succ(s)~nat\)，那么\(s~nat\)。
这条定理叫做inversion lemma。乍一看显然，其实还是需要证明的：
- 当\(e=zero\)时，因为\(e\)不能被写成\(succ(s)\)的形式，所以定理成立。（初始情况）
- 假设\(s\)满足这条定理，当\(e=succ(s)\)时，我们需要证明，如果\(e~nat\)那么\(s~nat\)。因为\(s\)满足这条定理，并且\(e=succ(s)~nat\)，那么我们有\(s~nat\)。那么\(e\)满足这条定理。
证明完毕。
