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[转]数论的基本知识

Posted on 2009-02-09 12:59  Baode  阅读(479)  评论(0编辑  收藏  举报

 

接下来会研究RSA的算法,其中就用到很多数论的基本知识,包括各种公式表达,这里就把有关数论的一些基本知识温习一下,估计是高中还是初中的一些理论,现在看来还是很有帮助的。

本文将简单地介绍有关整数集合Z={…,-2,-1,0,1,2,…}和自然数集合N={0,1,2,…}的最基本的数论概念。

可除性与约数

一个整数能被另一个整数整除的概念是数论中的一个中心概念,记号d|a(读作“d 除a”)意味着对某个整数k,有 a = kd。0可被每个整数整除。如果a>0且d|a,则|d|≤|a|。如果d|a,则我们也可以说a是d的倍数。如果a不能被d整除,则写作dFa。

如果d|a并且d≥0,则我们说d是a的约数。注意,d|a当且仅当(-d)|a,因此定义约数为非负整数不会失去一般性,只要明白a的任何约数的相应负数同样能整除a。一个整数a的约数最小为1,最大为|a|。例如,24的约数有1,2,3,4,6,8,12和24。

每个整数a都可以被其平凡约数1和a整除。a的非平凡约数也称为a的因子。例如, 20的因子有2,4,5和10。

素数与合数

对于某个整数a>1,如果它仅有平凡约数1和a,则我们称a为素数(或质数)。素数具有许多特殊性质,在数论中举足轻重。按顺序,下列为一个小素数序列:

2,3,5,6,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,…

不是素数的整数a>1称为合数。例如,因为有3|39,所以39是合数。整数1被称为基数,它既不是质数也不是合数。类似地,整数 0和所有负整数既不是素数也不是合数。

定理 1

素数有无穷个。

证明:

假设素数只有有限的n个,从小到大依次排列为p1,p2,...,pn,则 x = (p1·p2·...·pn)+1 显然是不能被p1,p2,...,pn中的任何一个素数整除的,因此x也是一个素数,这和只有n个素数矛盾,所以素数是无限多的。

这个证明的最早来自亚里士多德,非常漂亮,是反证法的经典应用,这个证明被欧拉称为“直接来自上帝的证明”,历代的数学家也对其评价很高。

除法定理,余数和同模

已知一个整数n,所有整数都可以分划为是n的倍数的整数与不是n的倍数的整数。对于不是n的倍数的那些整数,我们又可以根据它们除以n所得的余数来进行分类,数论的大部分理论都是基于上述分划的。下列定理是进行这种分划的基础。

定理2 (除法定理)

对任意整数a和任意正整数n,存在唯一的整数q和r,满足0 < r n,并且a = qn + r

这个定理是整数的基本定理之一,这里就不给出具体证明了。

值q=ëa/nû 称为除法的商(ë xû 表示地板符号floor,即小于等于x的最大整数)。值 r = a mod n 称为除法的余数。我们有n|a 当且仅当 a mod n = O,并且有下式成立:

当我们定义了一个整数除以另一个整数的余数的概念后,就可以很方便地给出表示同余的特殊记法。如果 (a mod n)=(b mod n),就写作 ab (mod n),并说ab对模n是相等的。换句话说,当ab除以n有着相同的余数时,有ab (mod n)。等价地有,ab (mod n)当且仅当n|(b - a)。如果ab对模n不相等,则写作a T b (mod n)。例如, 61≡ 6 (mod 11),同样,-13≡ 22≡2 (mod 5)。

公约数与最大公约数

如果d是a的约数并且也是b的约数,则d是a与b的公约数。例如,24与30的公约数为1,2,3和6。注意,1是任意两个整数的公约数。


两个不同时为0的整数a与b的最大公约数表示成gcd(a,b)。例如,gcd(24,30)=6,gcd(5,7)=1,gcd(0,9)=9。如果a与b不同时为0,则 gcd(a,b)是一个在1与min(|a|,|b|)之间的整数。

互质数

如果两个整数a与b仅有公因数1,即如果gcd(a,b)=1,则a与b称为互质数。例如,8和15是互质数,因为8的约数为1,2,4,8,而15的约数为1,3,5,15。下列定理说明如果两个整数中每一个数都与一个整数p互为质数,则它们的积与p与互为质数。


 From:http://algorithm.myrice.com/algorithm/commonalg/numberic/basic_knowledge.htm