最短路径

一、单源点最短路径问题 ：

问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径。

迪杰斯特拉（Dijkstra）提出了一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法。

Dijkstra算法：

基本思想：设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v, …, vk，就将vk加入集合S中，并将路径v, …, vk , vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。

　　下一条最短路径（设其终点为vi）或者是弧（v0,vi），或者是中间经过S中的顶点而最后到达顶点vi的路径。

　　

示例：

算法步骤：

① 令S={Vs} ，用带权的邻接矩阵表示有向图，对图中每个顶点Vi按以下原则置初值：

② 选择一个顶点Vj ，使得：dist[j]=Min{ dist[k]| Vk∈V-S }，Vj就是求得的下一条最短路径终点，将Vj 并入到S中，即S=S∪{Vj} 。

③ 对V-S中的每个顶点Vk ，修改dist[k]，方法是：

　　若dist[j]+Wjk<dist[k]，则修改为：dist[k]=dist[j]+Wjk ("Vk∈V-S )

④ 重复②，③，直到S=V为止。

算法实现：

void ShortestPath_DIJ(MGraph G,int v0,PathMatrix &P,ShortPathTable &D)
{ 
	// 用Dijkstra算法求有向网G的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]
	// 及其带权长度D[v]。
	// 若P[v][w]为TRUE，则w是从v0到v当前求得最短路径上的顶点。
	// final[v]为TRUE当且仅当v∈S,即已经求得从v0到v的最短路径。
	int i=0,j, v,w,min;
	bool final[MAX_VERTEX_NUM];
	for (v=0; v<G.vexnum; ++v) 
	{
		final[v] = FALSE;  
		D[v] = G.arcs[v0][v].adj;
		for (w=0; w<G.vexnum; ++w)  
			P[v][w] = FALSE;  // 设空路径
		if (D[v] < INFINITY) { P[v][v0] = TRUE;  P[v][v] = TRUE; }
	}
	D[v0] = 0;  final[v0] = TRUE;        // 初始化，v0顶点属于S集
	//--- 开始主循环，每次求得v0到某个v顶点的最短路径，并加v到S集 ---
	for (i=1; i<G.vexnum; ++i)		   // 其余G.vexnum-1个顶点
	{         
		min = INFINITY;                    // 当前所知离v0顶点的最近距离
		for (w=0; w<G.vexnum; ++w)
			if (!final[w])                           // w顶点在V-S中
				if (D[w]<min) { v = w;  min = D[w]; }  // w顶点离v0顶点更近
		final[v] = TRUE;                       // 离v0顶点最近的v加入S集
		for (w=0; w<G.vexnum; ++w)             // 更新当前最短路径及距离
			if (!final[w] && (min+G.arcs[v][w].adj<D[w])) 
			{ 
				// 修改D[w]和P[w], w∈V-S
				D[w] = min + G.arcs[v][w];
				P[w] = P[v];P[w][w] = TRUE; //P[w] = P[v]+[w]  
			}
	}
}

 

二、每一对顶点之间的最短路径

问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)，对任意顶点vi,vj∈V（i≠j），求顶点vi到顶点vj的最短路径。

　　解决办法1：每次以一个顶点为源点，调用Dijkstra算法n次。显然，时间复杂度为O(n3)。

　　解决办法2：弗洛伊德提出的求每一对顶点之间的最短路径算法——Floyd算法，其时间复杂度也是O(n3)，但形式上要简单些。

Floyd算法：

基本思想：对于从vi到vj的弧，进行n次试探：首先考虑路径vi,v0,vj是否存在，如果存在，则比较vi,vj和vi,v0,vj的路径长度，取较短者为从vi到vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。在路径上再增加一个顶点v1，依此类推，在经过n次比较后，最后求得的必是从顶点vi到顶点vj的最短路径。

示例：

数据结构：

图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构  

数组dist[n][n]：存放在迭代过程中求得的最短路径长度。迭代公式： 

数组path[n][n]：存放从vi到vj的最短路径，初始为path[i][j]="vivj"。

算法实现：

void ShortestPath_FLOYD(MGraph G, PathMatrix P[], DistancMatrix &D) 
{
	// 用Floyd算法求有向网G中各对顶点v和w之间的最短路径P[v][w]及其
	// 带权长度D[v][w]。若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最
	// 短路径上的顶点。
	int v,w,u,i;
	for (v=0; v<G.vexnum; ++v)        // 各对结点之间初始已知路径及距离
		for (w=0; w<G.vexnum; ++w) 
		{
			D[v][w] = G.arcs[v][w].adj;
			for (u=0; u<G.vexnum; ++u) P[v][w][u] = FALSE;
			if (D[v][w] < INFINITY) 
			{    
				// 从v到w有直接路径
				P[v][w][v] = P[v][w][w] = TRUE;
			}
		}
	for (u=0; u<G.vexnum; ++u)
		for (v=0; v<G.vexnum; ++v)
			for (w=0; w<G.vexnum; ++w)
				if (D[v][u]+D[u][w] < D[v][w]) 
				{  
					// 从v经u到w的一条路径更短
					D[v][w] = D[v][u]+D[u][w];
					for (i=0; i<G.vexnum; ++i)
						P[v][w][i] =(P[v][u][i] || P[u][w][i]);
				}
}

......