程设2021期末题E：数字构造

原题：http://cxsjsx.openjudge.cn/2021finalpractise/E/

描述

火山宝打算造一个 n 位的十进制数字出来。

对于 1 到 n 中的每一个 i，火山宝可以从 x_i,1, ..., x_i,ki 这 k_i 个 0-9 的数字中选择一个作为 a_i。

在选择结束后，a₁a_2...a_n 形成了一个 n 位的十进制数——这就是火山宝造出来的数。

你需要帮火山宝计算他能造出的数中，有多少个是 3 的倍数。

输入

第一行输入一个整数 n(1 ≤ n ≤ 18)，表示数字的位数。
接下来 n 行，每行第一个整数 ki (1 ≤ k_i ≤ 10)，表示第 i 中候选的数字数量。接着是 k_i 个两两不同的 0-9 范围内的数字 x_i,1, ..., x_i,ki。
输入保证 0 不是第一位的可选项。

输出

你需要输出一行一个整数，表示火山宝能造出的数字中，3 的倍数的数量。

样例输入

样例输入1：
2
5 5 6 7 8 9
5 0 1 2 3 4

样例输入2：
5
9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

样例输出

样例输出1：
9

样例输出2：
30000

提示

样例1能造出来的 3 的倍数有 51, 54,60,63,72,81,84,90, 93。

解法

思路：要是把每个n位的十进制数都算出来然后判断是否是3的倍数，这肯定会超时。

根据数论，由于10与1模3同余，一个n位的十进制数是3的倍数等价于这些十进制数的和是3的倍数。

而且可以用等价类的思想来计算。每行分别计算等价类。

重要的坑：结果可能超过int的范围，所以要用long来存，不然会WA。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int num[20][10];
int k[20];
int mod[20][3] = {};
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> k[i];
        for (int j = 0; j < k[i]; j++){
            cin >> num[i][j];
            mod[i][num[i][j] % 3]++;
        }
    }
    long result[3] = {};
    for (int i = 0; i < 3; i++)
        result[i] = mod[0][i];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        long temp0 = result[0], temp1 = result[1], temp2 = result[2];
        result[0] = temp0 * mod[i][0] + temp1 * mod[i][2] + temp2 * mod[i][1];
        result[1] = temp0 * mod[i][1] + temp1 * mod[i][0] + temp2 * mod[i][2];
        result[2] = temp0 * mod[i][2] + temp1 * mod[i][1] + temp2 * mod[i][0];
    }
    cout << result[0] << endl;
    return 0;
}