洛谷 P11328 Gym Badges 题解

题目传送门：P11328 [NOISG 2022 Finals] Gym Badges 。

闲话

从 P4053 [JSOI2007] 建筑抢修 讨论区的多倍经验帖来的，直接把原题代码改了输入输出提交发现：补兑！ 所以大家在看多倍经验的时候还是得老实看题啊（叹气）。

题意大意

有 \(N\) 个比赛。第 \(i\) 个比赛可以用 \(L_i\) 和 \(X_i\) 来描述。当前等级 \(\le L_i\) 时，那么可以参加第 \(i\) 个比赛，等级提升 \(X_i\)。

初始等级为 \(0\)，问最多可以参加多少场比赛。

思路分析

和 P4053 [JSOI2007] 建筑抢修 一样，是一个反悔贪心。

原来的贪心策略如下。

设当前的等级为 \(now\)。因为等级要求更低的比赛会在等级提升的过程中先无法参加，所以我们先参加等级要求低的比赛。我们就以等级要求 \(L_i\) 为第一关键字将比赛从小到大排序。

当目前参加比赛数 \(ans\) 一定时，我们还是先让 \(now\) 尽量小一点。从这一点就可以想出反悔机制：参加到第 \(i\) 场比赛时，如果 \(L_i \ge now\)，我们就参加这次比赛，\(ans + 1\)，并将这次比赛加入以提升等级 \(X_i\) 为关键字的大根堆中；如果 $ L_i < now$ ，那么取出大根堆的堆顶，若堆顶元素的提升等级比当前比赛多，那将当前比赛替换掉在堆顶的比赛，\(now\) 减去堆顶，再将本次比赛存入大根堆里，\(ans\) 值不变。

如此将 \(n\) 场比赛都扫一遍，就可以得出答案。

但是和建筑抢修不一样的是，建筑抢修的要求为现在的时间 \(now\) 加上当前建筑的修理时间 \(X_i\) 小于规定时间 \(L_i\)，而本题中要求现在的等级 \(now\) 小于规定等级 \(L_i\) 时才能参加比赛，比赛后等级加 \(x_i\)。

这样的话我们就发现：用 \(L_i\) 作为关键字排序好像不能保证正确性。

那么我们想一想，假设现在的等级为 \(now\)，我们有两场比赛，它们的等级要求分别为 \(L_a\) 和 \(L_b\)，提升等级分别为 \(X_a\) 和 \(X_b\)，那么只有在参加了比赛 a 之后我们不能参加比赛 b，但参加了比赛 b 之后还可以参加比赛 a 时，我们会先参加比赛 b，即 \(now + X_b \le L_a\) 且 \(now + X_a > L_b\)。由此推知 \(X_b + L_b \le X_a + L_a\) 时先选择比赛 b 更优。如此，在给比赛排序时以 \(L_i + X_i\) 为关键字从小到大排序即可。其他贪心方法不变。

其余细节实现请见代码。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long n, ans, now;
long long a, b;

struct node{
	long long X, L;
}num[500010];

priority_queue <long long> q;//优先队列默认大根堆 

bool cmp(node x, node y){ 
	return x.L + x.X < y.L + y.X;//以L_i + x_i 为关键字从小到大排序 
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);//解绑，加快输入输出速度 
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	
	cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> num[i].X;
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		cin >> num[i].L;
	}
	
	sort(num + 1, num + 1 + n, cmp);//排序
	
	for(int i = 1; i <= n ;i++){
		if(now <= num[i].L){
			ans++;
			now += num[i].X;
			q.push(num[i].X);//将该比赛入堆 
		}else{
			if(q.top() > num[i].X){//反悔操作 
				now += num[i].X;
				now -= q.top();
				q.pop();
				q.push(num[i].X);			
			}
		}
	}
	
	cout << ans << '\n';
	return 0;
} 

写在最后

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