矩阵快速幂详解

矩阵乘法

定义矩阵乘法的运算方式是:

\[c _ {ij} = \quad\sum _ {k=1}^na _ {ik} *b _ {kj} \]

举个例子

\[\begin{pmatrix} {a _ 1} & {a _ 2} & {a _ 3} \\ {b _ 1} & {b _ 2} & {b _ 3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {c _ 1} \\ {c _ 2} \\ {c _ 3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {a _ 1}{c _ 1} + {a _ 2}{c _ 2} + {a _ 3}{c _ 3} \\ {b _ 1}{c _ 1} + {b _ 2}{c _ 2} + {b _ 3}{c _ 3} \end{pmatrix} \]

\[\therefore \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 * 7 + 2 * 8 + 3 * 9 \\ 4 * 7 + 5 * 8 + 6 * 9 \end{pmatrix} \]

\[\therefore \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 122 \end{pmatrix} \]

Sample Code

int n;//矩阵大小

void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }//简单定义 += 

struct Matrix
{
	int a[n][n];//矩阵
	friend Matrix operator *(const Matrix x, const Matrix y)//定义矩阵类型的乘法
	{
		Matrix c;//定义新的矩阵用来存储结果
		memset(c.a, 0, sizeof(c.a));//初始化
		for(int i = 0; i < n;i ++)//进行枚举
			for(int j = 0; j < n;j ++)
				for(int k = 0; k < n;k ++)
					Up(c.a[i][j], x.a[i][k] * y.a[k][j] % mod);//相乘 
		return c;//返回答案矩阵
	}
};

如何利用矩阵乘法计算

在计算递推式的时候，我们可以把递推式构建成矩阵乘法的样子

比如形如下列递推式的递推式:

\[f(n) = a * f(n - 1) + b * f(n - 2) \]

我们可以考虑构造成:

\[\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(n - 1) \\ f(n - 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}\]

然后就有:

\[\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(n - 1) \\ f(n - 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix} \]

\[\because \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(n - 2) \\ f(n - 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n - 1) \\ f(n - 2) \end{pmatrix} \]

\[\therefore \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^2 \begin{pmatrix} f(n - 2) \\ f(n - 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}\]

\[\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^3 \begin{pmatrix} f(n - 3) \\ f(n - 4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}\]

\[\begin{pmatrix} a & b \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} f(1) \\ f(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(n) \\ f(n - 1) \end{pmatrix}\]

然后构造起来的道理是这样，但是真正的矩阵是什么样子的还得自己知道怎么推然后再去做

假如给你一个形如\(f(n) = a * f(n - 1) + b * f(n - 2) + c * f(n - 3)\)你要是不会推还是会GG的

然后因为有的时候\(dp\)的递推式也可以用矩阵来加速，所以用处很大

矩阵乘法快速幂

前一部分的模板

Sample Code

void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }//简单定义+=

struct Matrix
{
	int a[n][n];
	friend Matrix operator *(const Matrix x, const Matrix y)//定义矩阵乘法
	{
		Matrix c;
		memset(c.a, 0, sizeof(c.a));
		for(int i = 0; i < n; i ++)
			for(int j = 0; j < n; j ++)
				for(int k = 0; k < n; k ++)
					Up(c.a[i][j], x.a[i][k] * y.a[k][j] % mod); 
		return c;
	}
};

Matrix Qpow(Matrix x, int timer)//矩阵快速幂
{
	Matrix base;//定义结果矩阵
	for(int i = 0; i < n; i ++)
		for(int j = 0; j < n; j ++)
			base.a[i][j] = 0;
	for(int i = 0; i < n; i ++) base.a[i][i] = 1;
	for(; timer; timer >>= 1, x = x * x)
		if(timer & 1) base = base * x;
	return base;
}

PROB

• Luogu P1962 斐波那契数列