概率与期望

概念

概率

定义

令 \(P(A)\) 为事件 \(A\) 可能发生的概率。若事件 \(A\) 在 \(n\) 件事中独立存在，则 \(P(A) = \frac{1}{n}\)。

性质

设 \(P(A \cap B)\) 表示两个互不干扰的独立事件都发生的概率，则：

\[P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

设 \(P(A \cup B)\) 表示两个独立事件至少发生一个的概率，则：

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

期望

定义

令 \(E(X)\) 为事件 \(X\) 的期望。若事件 \(x\) 每个结果的权值为 \(a_i\)，每个结果发生的概率为 \(p_i\)，则：

\[E(X) = \sum a_i \times p_i \]

性质

\[E(a \times X) = a \times E(X) \]

其中 \(a\) 为常数。

\[E(X + Y) = E(X) +E(Y) \]

\[E(X \times Y) = E(X) \times E(Y) \]

\[E(a) = a \]

其中 \(a\) 为常数。

dp

状态和转移方程的一般设计

概率

状态：设 \(dp_S\) 表示达到 \(S\) 局面的概率。

转移方程：

\[dp_i = \sum dp_j \times p_{i \to j} \]

其中 \(p_{i \to j}\) 为局面 \(i\) 到局面 \(j\) 的概率。

期望

状态：设 \(dp_S\) 为局面 \(S\) 到终止态的期望还需多少。

转移顺序：终止态向起始态转移（刷表）。

转移方程：

\[dp_i = \sum (dp_j + w_{i \to j}) \times p_{i \to j} \]