0428学习笔记 张宇基础30讲——第五讲一元函数微分学的几何应用

 极值与最值的概念

　　极值：

　　　　广义极大值：在x0的双侧邻域中恒有f(x)≤f(x0)，则x0为广义极大值点，f(x0)为广义极大值

　　　　真正极大值：在x0的双侧去心邻域中恒有f(x)＜f(x0)，则x0为真正极大值点，f(x0)为真正极大值

　　最值：

　　　　广义最值：在x0的定义域中恒有f(x)≤f(x0)，则f(x0)为广义最大值

　　　　真正最值：在x0的定义域中恒有f(x)＜f(x0)，则f(x0)为真正最大值

极值点不一定是最值点、最值点也不一定是极值点（最值点处可能无极值——无双侧邻域【端点】）

若f(x)在区间I上有最值且最值点不为端点，则该最值点一定是极值点

间断点也可以是极值点

 

单调性与极值的判别

　　单调性判别：若函数在区间I上有f'(x)>0，则在I上严格单调递增；若函数在区间I上有f'(x)<0，则在I上严格单调递减

　　极值的判别：

　　　　极值点的必要条件：若f(x)在x0处可导且为极值，则f'(x0) = 0（逆推不成立，参考y=x^3当(x∈[0,+∞)，有极值的条件是双侧邻域都满足极值的定义)）

　　　　第一充分条件：若f(x)在x0处连续，且在x0的去心邻域内可导：【为什么不是在x0的邻域内可导：因为y=|x|的拐点也是极小值，但是不可导】

　　　　　　① 若当x∈(x0-δ,x0)时f'(x)<0，当x∈(x0,x0+δ)时f'(x)>0，则f(x0)为极小值

　　　　　　② 若当x∈(x0-δ,x0)时f'(x)>0，当x∈(x0,x0+δ)时f'(x)<0，则f(x0)为极大值

　　　　　　③ 若f'(x)在x的两个去心邻域不变号，则x0不是极值点

　　　　第二充分条件：若f(x)在x0的邻域处二阶可导，且f '(x)=0，f ''(x)≠0：

　　　　　　① 若f ‘’(x)>0，则f(x0)为极小值

　　　　　　② 若f ‘’(x)<0，则f(x0)为极大值

　　　　第三充分条件：若f(x)在x0的邻域处n阶可导，且f '(x) = f ''(x) = f(3)(x) =……= f(n-1)(x) =0，f(n)(x)≠0：（n为偶数）

　　　　　　① 若f(n)(x)>0，则f(x0)为极小值

　　　　　　② 若f(n)(x)<0，则f(x0)为极大值

凹凸性与拐点的概念

　　凹凸性：

　　　　凹：f(x1)+f(x2) / 2 【直线上】> f(x1+x2/2)【曲线上】

　　　　凸：f(x1)+f(x2) / 2 < f(x1+x2/2)

　　拐点：连续曲线的凹弧与凸弧的分界点

凹凸性与拐点的判别【类比单调性和极值点来记忆】

　　凹凸性：函数f(x)在I上二阶可导，若f''(x)>0，则f(x)在I上的图形为凹的；若f''(x)<0，则f(x)在I上的图形为凸的

　　拐点：

　　　　必要条件：若f(x)在x0处二阶可导且(x0,f(x0))为拐点【大】，则f ''(x0)=0【小】【不能逆推。比如y=x^4在x=0处二阶导为0，但不是拐点，因为其邻域内一直是凹曲线，二阶导没有变号】

　　　　第一充分条件：若f(x)在x0处连续，且f(x)的去心邻域邻域内二阶导数存在，若该点的左右邻域二阶导数变号【和上面有点不同，上面把变号分了两种情况，因为极值分极大和极小，但是拐点不分】，则（x0,f(x0)）为拐点

　　　　第二充分条件：若f(x)在x0的邻域处3阶可导，且f''(x)=0，f(3)(x)≠0，则（x0,f(x0)）为拐点

　　　　第三充分条件：若f(x)在x0的邻域处n阶可导，且f''(x)=……=f(n-1)(x)=0，f(n)(x)≠0，则（x0,f(x0)）为拐点（n为奇数，因为第二充分条件从3阶导开始）

渐近线

　　铅锤渐近线：当x->x0时（一侧或以上），lim f(x) = ∞，则x=x0为f(x)的铅锤渐近线

　　水平渐近线：当x->(+/-)∞时，lim f(x) = A（常数），则y=A为f(x)的水平渐近线

【以上两者只要有一侧满足，就有渐近线了】

　　斜渐近线：① 当x->+∞时，lim f(x)/x = a（常数，≠0），lim f(x) - ax = b（常数），则y=ax+b为f(x)的斜渐近线

　　　　　　　② 当x->-∞时，lim f(x)/x = a（常数，≠0），lim f(x) - ax = b（常数），则y=ax+b为f(x)的斜渐近线

　　　　　　　③ 当x->∞时，lim f(x)/x = a（常数，≠0），lim f(x) - ax = b（常数），则y=ax+b为f(x)的斜渐近线【一般先考虑这个】

　　　　【若a=0，则说明f(x)趋于∞的速度比x快，那ax+b就不可能是他的斜渐近线。为什么要f(x)/x，因为这样求的时同阶无穷小，趋0速度一样。】

最值或取值范围

　　闭区间：【确定最值】

　　　　① 找到函数在此闭区间内的驻点和不可导点（f '(x)不存在）

　　　　② 找到函数在区间内的端点

　　　　③ 比较以上几点的取值，最小的为最小值，最大的为最大值

　　开区间(a,b)：【确定最值 / 取值范围】

　　　　① 找到函数在此开区间内的驻点和不可导点

　　　　② 求函数的a右极限和b左极限

　　　　③  比较以上几点的取值，最小的为最小值，最大的为最大值。若求出的极限为∞，则此时求出的为取值范围

作函数图像

　　① 找到函数有奇偶性

　　② 找到函数的四个点：f(x)不存在的点【求极限，若一侧以上为无穷，则为铅锤渐近线】、f'(x)=0的点、f'(x)不存在的点、f''(x)=0的点，然后画表格

　　③ 找渐近线【x趋无穷时：f(x)、f(x)/x】

　　④ 画图