0421-0423学习笔记 张宇基础30讲——第四讲一元函数的微分学与计算

概念：

　　导数：导数可以分两个方向去理解。从物理的角度来分析，导数代表当时间趋向于无穷小（也就是瞬时时间），温度在该时刻下的变化率【或者举速度的例子】。从几何的角度来说，导数是当x无限趋近x0时，曲线的切线的斜率（Δy/Δx）。可导函数可以理解为一条光滑（没有折角，y=|x|有折角）的曲线，但光滑与可导并不能互推（参考y=sinx，x∈(-pai/2，pai/2)，当x=0时，x的切线斜率为无穷大，而无穷大可以看成特殊的不存在，因此当导数值为∞时，该点不可导），但可导一定光滑。还有可导一定连续，连续不一定可导【连续就是在该点处左极限=右极限=函数值，连续意味着在指定区间内是一条曲线。而光滑的曲线一定是曲线，但曲线不一定光滑，比如y=|x|，在x=0处有折角，左导数!=右导数】。最后，对于一阶导数来说，可导一定可微，可微一定可导。

　　导数存在条件：左导=右导且存在

　　微分：微分能让复杂函数用简单函数来表示且产生的误差可以忽略。比如y(x)是一个很复杂的函数，通过使用微分，变成线性函数来表达，简化了计算。从几何上来理解，就是把一条函数表达式复杂的曲线，在某点处用她的切线来替代这条函数。想象一个正方形x*x，现增加长度Δx，那么新的面积就是(Δx+x)^2，而新增加的面积就是Δy = x*Δx + (Δx)^2。当Δx趋于0时，对于x*Δx来说，Δx*Δx是Δx的高阶无穷小，是误差，可以趋近于0，因此Δy可以写成Δy≈x*Δx，x*Δx为Δy的微分，而x是Δx无关的常数，可记为A。而如果函数能写成Δy = A*Δx + o(Δx)，且A为与Δx无关的常数，则说明函数可微【或，若lim (Δy - A*Δx) / Δx = 0，Δx->0，则函数在x=x0处可微】。【关于为什么dy/dx = f '(x) = A：首先通过可微概念，我们得到dy = AΔx，因此只需要证明Δx=dx即可。由于Δx = 1*Δx+0，0是任何数的高阶无穷小，因此又可以写成Δx = 1*Δx+o(Δx)，满足可微概念，因此有 dx = AΔx = 1*Δx = Δx】【注意对于微分概念来说，dy!=Δy，但dx = Δx。因为dy≈AΔx != Δy=AΔx+o(Δx)】

　　p59 4-6

导数与积分计算：

其实应该再补充一个方法：定义法【问法一般是若xx导数存在/可导 且f(0)=A，求xxx导数。解法一般是把xxx导数求证的公式化成包含xx导数存在的公式，利用xx导数存在消去一部分的求导】P63 例4.1

1.四则运算（当看到题目出现 f ' (x)*g(x)这种东西【甚至是f(x) * f ' (x)】，就可以考虑套四则运算了）都是根据求导推出的微分计算

　　(uv)' = u'*v + u*v'　　　　　　d(uv) = ud(v) + vd(u)

　　(u+v)' = u' + v'　　　  　　　  d(u+v) = du + dv

　　(u/v) = (u' * v - u*v') / v^2　　 d(u/v) = (vdu - udv) / d(v^2)

2.分段函数的导数

　　与前面的分段函数讨论极限值很类似。

　　分段函数的极限值讨论分段点和无定义点，而且均用左极限=右极限且都存在来讨论

　　分段函数的导数讨论分段点和非分段点，分段点用定义讨论，非分段点用公式法讨论（对函数求导）

3.复合函数的导数与微分不变性

　　其实就是复合函数求导：一层一层拨开他的心

　　我认为这里没必要去额外记公式和理解，只需要记住：[ f[g(x)] ] '  = 对x求导 = d( f[g(x)] ) / dx 、 f ' [ g(x) ] = 对g(x)求导 = d( f[g(x)] ) / d( g[x] )

4.反函数的导数

　　函数存在反函数的条件：该函数在指定区间内为单调函数 ——等价于—— 函数在该区间内可导且f'(x)≠0【不等于0意味着函数单调性无法改变】【一定要是单调函数的原因：如果不是单调函数，就意味着有增有减，当函数为y=x^2时，一个y对应两个x，但是当为反函数x=y^2时，两个y对应一个x，这就不满足函数的要求了，因此x=y^2甚至不是函数，更别提反函数了】

　　① 反函数的导数 = 1/函数的导数

　　② 反函数的二阶导数 =  -（1 / (函数的一阶导数)^3 ）*  函数的二阶导数【记不住就用微分推导】

5.参数方程所确定的函数的导数

　　dy / dx 转化成👉 （dy/dt）/ （dx/dt）

6.隐函数求导法

　　方程两边同时对x求导，解出y'

7.对数求导法

　　看到多项相乘相除乘方开方

8.幂指函数

　　看到u^v

9.高阶导数【最拉开差距】

　　① 找规律 —— 肉眼法

　　② 莱布尼兹公式 —— 二项式定理  【适用于两个函数乘积的高阶导数】

 

　　③ 泰勒公式 —— 定义法某阶导系数 【记住三要素：①f(x0)的n阶导 f n (x0)、② n!、③ x^n 】= 展开法某阶导系数 【去看P92页的泰勒公式，其实就是求导代值得公式罢了】

p61

10.基本求导公式（背！！）

【ln(x+sqrt(x^2+1))】' = 1/sqrt(x^2+1)

 

今早惊觉我突然把可导函数的极限定义记错了。比如y=sinx从0到pai这一段曲线，我直接认为pai/2的位置是不可导的，因为跟y=|x|一样是折角地方，左右导数不相等。但是这么想是错的，这个判定方法判断导数存在只适用于分段点，对于非分段点来说，要用公式法判断！！