0417学习笔记 张宇基础30讲——第二讲数列极限

证明数列极限存在/求极限的五大方法：

定理：若数列收敛，则其子数列也一定收敛，且极限值等于原数列。反之，若子序列发散，则原数列一定发散、两个子序列收敛到不同极限，则原函数也一定发散（一个子序列收敛也不一定能证明原数列收敛）

① 定义法：

　　① 如果存在一个无论多小的数ε，② 总存在一个正整数N，③ 当n>N时，④ 总满足| xn - A | < ε ——则Xn极限存在且为A（数列是收敛的，极限不存在则数列是发散的）

　　证明方法：

　　　　① 写出|xn-A| < ε

　　　　② 求出n的范围：n>g(ε)（根据①的公式，因为xn是关于n的式子）

　　　　③ N = [g(ε)] + 1

　　　　则当n>N时，n>g(ε)，则有|xn-A|<ε

② 性质法

　　唯一性：若数列存在极限，则极限值唯一

　　有界性：若数列极限存在，则数列有界

　　保号性：若数列极限存在=a，且a>0/a<0，则存在正整数N，当n>N时，an>0/an<0 —— （推论：若数列从某项起an>=0，且lim = a，则a>=0）

③ 运算规则法

　　大前提：数列极限存在（跟下一章的函数极限一个道理和做法）

④ 夹逼准则：放缩法：比如求lim(n/(n^2+1) + n/(n^2+2) + n/(n^2+3)+……+n/(n^2+n))，可以放缩成：n* (n/n^2+n) <= 前面的 <= n* (n/n^2+1)

⑤ 单调有界准则：单调有界数列必有极限

⑥定积分的定义法：对f(i/n)*1/n先求和再求极限=对f(x)在(0,1)上积分【此处a=0,b=1，其他为f(a+(b-a)/n)*b-a/n=对f(x)在(a,b)上积分】

 

关于n项求和的方法：

①先提取1/n

②看表达式中能否凑出i/n【会变的量用i来表示】

③可以的话用定积分定义法，不可以就用夹逼准则