0411学习笔记 张宇基础30讲——第一讲函数概念与特性

反函数：

y = f(x)的函数的逆是x = k(y)，但此时函数图像仍然是同一个

当x=k(y)中的x,y换位置变成y = k(x)时，函数图像与原函数图像关于y=x对称。此时y=k(x)是y=f(x)的反函数

 

复合函数：（典型例题p22 1.4）

一般来说题目都是给出f(x)让你求f(f(x))，这时候就将其转换求成y与x的关系

第一步：换元　　将f(x)函数中的x换成f(x)，更改定义域的x为f(x)

第二步：画图　　画出f(x)与x的函数图像，并且按照f(f(x))的定义域在f(x)与x的函数图像中标出来，并且进行分段

第三步：写答案    将f(f(x))表达式中f(x)的值换成第二部在f(x)与x中分好段的区域的函数，并且更改新的定义域

 

 

 

函数的四种特性：

①有界性：如果能够找到 |f(x)| <= M，则 f(x) 是有界的

②单调性：

③奇偶性：(可导的奇函数（偶函数）求导后奇偶性互换，再求导再换)  奇函数：f (0 ) = 0, f''(0) = 0

　　奇：

　　　　① 若x∈D (关于原点对称的定义域)，且 f ( x )  = - f ( - x )  

　　　　② 若f(x)是在对称区间上的任意函数，则F(x) = f(x) - f(-x)必为奇函数【将-x带入可发现F(x) = F(-x)】：(e^x - e^-x)/2 是奇函数，此函数图像必须记住，是双曲正弦函数

　　　　③ 当f(x)在x=0处存在时，则有f(x) = 0

　　偶：

　　　　① 若x∈D (关于原点对称的定义域)，且 f ( x )  =  f ( - x )

　　　　② 若f(x)是在对称区间上的任意函数，则F(x) = f(x) + f(-x)必为偶函数

　　　　③ 偶函数f(x)当f'(0)存在时，f'(0) = 0

 

　　任意函数只要在对称定义域上，都能写成奇函数与偶函数的和

　　函数关于X=T对称的充要条件：f(x) = f(2T-x)  /  f(T+x) = f(T-x)

 

④周期性：

　　　　若x∈D (任意定义域)、x+T∈D，且 f ( x ) = f ( x + T )，则为周期函数

　　　　周期函数的积分与起点无关。eg：f(x)从0到T对x的积分 = f(x)从a到a+T对x的积分。因为积分计算的是面积

 

0和1在考研中可能会出现的考点：

　　① 拉格朗日中值定理的应用：

 

　　　　若f(a) = 0，求f(b)。可以转化为f(b) = f(b) - f(a)

　　　　求e^a。已知e^0 = 1，可以转化为求e^a - e^0，也就是f(a) - f(0)

 　　　　若x>0，证明f(x)>f(1)*x。转化为f(x)/x > f(1)/1，令F(x) = f(x)/x，求导研究单调性

　　　　总结：利用0的加减，利用1的乘除

 

特性的重要结论：

第七点的一些新感悟：

证明函数在闭区间内有界的方法：函数在闭区间内连续

证明函数在开区间内的方法：① 导数存在且导数有界（拉格朗日中值定理证明，但拉格朗日中值定理的使用条件是：f(x)在[a,b]闭区间连续 或 在(a,b)开区间可导（就包含 f(x)左端点a的右导数 及右端点b的左导数都存在） ② 函数在开区间内连续且x->a+和x->b-时函数极限存在

 

可导一定连续吗：可导即函数在此区间内左导数=右导数，连续即函数在此区间内左极限=右极限=函数值。而可导函数是一条光滑的曲线，在光滑的曲线上，趋于任何点的时候，这个点的左右极限都一定存在且相等且等于这个点的函数值（想象下）

连续不一定可导：绝对值函数

 

 　　总结：

　　　　① f'(x)----儿子-----f(x)----父亲----关于f(x)对x的积分

　　　　② 奇——偶——只有一个原函数是奇函数

　　　　③ 偶——奇——所有的原函数都是偶函数

　　　　④ T——T——满足f(x)对x在0到T上的积分为0的条件，原函数也才以T为周期

 

 

考研需要死记的函数图像：

　　① 反双曲正弦函数（奇函数）：y = ln ( x + sqrt ( x^2 + 1) ) 

　　　　注意要点：

　　　　　　①求导：求导结果为 1 / sqrt( x^2+1 )

　　　　　　②积分：奇函数在关于y=x对称的区域积分为0（面积正负抵消）

　　② 双曲正弦函数（奇函数）

①②关于 y = x对称

　　③ 双曲余弦函数（偶函数）——特殊的悬链线（有点像tiffany的微笑项链的函数）