基于有限差分法的二维平面热传导模型MATLAB实现

一、数学模型建立

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二、数值求解流程

1. 网格划分

Lx = 0.5; Ly = 0.3; % 物理尺寸(m)
Nx = 50; Ny = 30;   % 网格点数
dx = Lx/(Nx-1); dy = Ly/(Ny-1);
[X,Y] = meshgrid(linspace(0,Lx,Nx), linspace(0,Ly,Ny));

2. 初始条件

T0 = 300; % 初始温度(K)
T = T0*ones(Nx,Ny);

3. 边界条件设置

T_left = 500;    % 左边界温度
h = 25;          % 对流系数(W/m²K)
T_inf = 300;     % 环境温度
T(:,1) = T_left; % 左边界
T(:,end) = T_left + (T_inf - T_left)*exp(-h*dx/(k)); % 右边界对流

4. 显式差分迭代

alpha = 8.5e-5;   % 热扩散系数(m²/s)
dt = 0.1;         % 时间步长(s)
nt = 1000;        % 迭代次数

for n = 1:nt
    Tn = T;
    % 内部节点更新
    for i = 2:Nx-1
        for j = 2:Ny-1
            T(i,j) = Tn(i,j) + alpha*dt*( ...
                (Tn(i+1,j)-2*Tn(i,j)+Tn(i-1,j))/dx^2 + ...
                (Tn(i,j+1)-2*Tn(i,j)+Tn(i,j-1))/dy^2 );
        end
    end
    % 边界条件更新
    T(:,1) = T_left;
    T(:,end) = T_left + (T_inf - T_left)*exp(-h*dx/(k));
end

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三、高级数值方法对比

1. 隐式Crank-Nicolson法（稳定无条件）

% 构建三对角矩阵
A = gallery('tridiag',Nx-2,-2*alpha*dt/dx^2,1,0);
B = gallery('tridiag',Nx-2,alpha*dt/dx^2,1,0);

for n = 1:nt
    Tn = T;
    % 空间离散
    rhs = Tn(2:end-1,:) + alpha*dt*( ...
        (Tn(3:end,:)-2*Tn(2:end-1,:)+Tn(1:end-2,:))/dx^2 + ...
        (Tn(2:end-1,3:end)-2*Tn(2:end-1,2:end-1)+Tn(2:end-1,1:end-2))/dy^2 );
    % 求解线性方程组
    T(2:end-1,:) = (A\rhs')';
end

2. 交替方向隐式法（ADI）

for n = 1:nt
    % x方向隐式
    for j = 2:Ny-1
        T(2:end-1,j) = T(2:end-1,j) + alpha*dt/dx^2 * (T(3:end,j) - 2*T(2:end-1,j) + T(1:end-2,j));
    end
    % y方向隐式
    for i = 2:Nx-1
        T(i,2:end-1) = T(i,2:end-1) + alpha*dt/dy^2 * (T(i,3:end) - 2*T(i,2:end-1) + T(i,1:end-2));
    end
end

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四、工程参数优化

参数	典型值范围	影响分析
热扩散系数	1e-6 ~ 1e-4 m²/s	影响温度场扩散速度
时间步长	Δt ≤ 0.5*dx²/α	过大会导致数值不稳定
网格密度	≥20点/特征长度	过疏会损失温度梯度细节
边界条件	混合边界	需同时处理对流和固定温度条件

参考代码 二维平面的热传导模型实例 www.youwenfan.com/contentcni/65330.html

五、扩展应用

1. 多材料复合体

   % 不同材料区域划分
   material_mask = (X > 0.3) & (X < 0.7);
   k(material_mask) = 200; % 高导率材料
   

2. 相变问题

   % 潜热释放模型
   latent_heat = 2.5e5; % J/kg
   rho = 7800;          % kg/m³
   T_melt = 1700;       % 熔点温度
   if T(i,j) > T_melt
       Q = rho*latent_heat*(T(i,j)-T_melt);
   end
   

3. 实时温度监控

   % 嵌入式系统实现
   data = readtable('temperature_log.csv');
   plot(data.Time, data.Temp1, data.Time, data.Temp2);
   legend('传感器1','传感器2');