2023.7.21 图论课上速记

ExaWizards 2019 F

没记到，淦。

CF773D

有一个 $n$ 个点的完全图，每两个点之间有一条长度为 $w_{i,j}$ 的无向边。

构造以 t 为根的生成树，使得树上每个节点到根最短边的长度和最小。

对于每个 \(t\) 求答案。

\(n \le 2000\)。

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把所有边减去最小的权值，设最小的边的一端为 x，于是转化成求 x 到 t 一条链的权值。

又可以发现，一定可以构造出一种最优情况，使链上的点从与最小边相连的点到 e 是 依次递增的。

这个结论可以用反证法证明：

如果链上有一条递减的边，那么把这条边放到链的起始位置答案肯定不劣，

因为前面较大的边并不会对链上的代价作出任何贡献.

由于链上的边权依次递增，每条边都只会作出一次贡献，相当于是一条 路径.

所以我们从与最小边相连的点 s 出发跑一遍最短路就可以计算得到。

跑 dj 松弛即可。

CF843D

给定一个有向图，q 次操作

• 询问 1 到 t 的最短路
• 将一些边的边权+1

\(n,m\le 10^5, q\le 2000, \sum|s_i|\le 10^6\)

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Johnson 全源最短路板子题。

先跑一边最短路，然后 \(w(x,y)\leftarrow w(x,y)+dis(x)-dis(y)\)

AGC036D

有一张 \(N\) 个点的图，边的状态为：

• 对于所有 \(0\le i <N-1\)，i 向 i+1 有一条边权为0 的不可被删除的邮箱变。
• 对于所有 0 \le<i<j<N，i 向 j 有一条权值为 -1 的可以用 。A_i,j 代价删除的邮箱变
• 对于所有 0\le j <i <N，i 向 j 有一条版权为 1 的 可以用 A_i,j 代价删除的有向边。

求是的图没有复还的最小代价。

\(N\le 500\)

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ee,完事贴图

[联合省选 2021]矩阵游戏

有一个 n\tiems m 的矩阵 A，给出一个 (n-1)(m-1) 矩阵 B，满足：

\[b_{i,j}=a_{i,j}+a_{i+1,j}+a_{i,j+1}+a_{i+1,j+1} \]

问你是否存在一个 A 满足 0\le a_i,j\le 10^6

n,m\le 300 组数据。

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呃呃，为什么我要打字呢，完事上图。

[SDOI 2019] 世界地图

最小生成树啦

给一个网格图，相邻的点有边，边权随机。

最左边和最右边一列相连通

多次询问，每次询问删掉 [l,r] 列的点，剩余点弄最小生成树，询问独立。

\(n\le 100, m\le 10^4,q\le 10^4\)。

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呃呃，解法就不锻炼手速了。

无出处

有一个 nn 的方阵，开始给 m 个沿主对角线对称的两个子矩阵加一个数。

最后，方阵第 i 行 j 列表示 (i,j) 边权，保证图是无向图。

求最小生成树。

\(n,m\le 10^5\)。

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Borubka 生成树，维护每个连通块向外的最小边。

扫描线支持矩阵加操作。

[SDOI2018] 战略游戏

到达双联通分量

给出一个简单无向连通图，有 q 次询问：给出一个点集 S，求有多少个点 u 满足 u \not \in S 且删了 u 和与 u 相连的边后 S 中的点不全在同一个连通分量中。

\(t\le 10,n\le 10^5,m\le 2\times 10^5,q\le 10^5,\sum|S|\le 2\times 10^5\)。

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呃呃呃，不懂圆方树……

AGC038D

呃呃，听不懂就贴图应付了。

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