高等数学笔记05：函数与极限 常用的极限求法（下篇）

高等数学笔记04：函数与极限 常用的极限求法（下篇）

1. 利用夹逼原理求极限

1.1 求解分式的极限

夹逼原理 例题1（1995年）

\[求极限：\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2} +...+\frac{n}{n^2+n+n} \]

解法1（夹逼原理）：

\[设原极限式=y，则有： \]

\[\lim_{n\to \infty}\frac{1+2+...+n}{n^2+n+n} \leq y\leq \lim_{n\to \infty}\frac{1+2+...+n}{n^2+n+1} \]

\[又： \]

\[\lim_{n\to \infty}\frac{1+2+...+n}{n^2+n+n} = \lim_{n\to \infty}\frac{1+2+...+n}{n^2+n+1} \]

\[=\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2+n+1} =\frac{1}{2} \]

\[则：原极限式=\frac{1}{2} \]

解法2（直接判断数量级）：

\[由于原式分母最高次项均为n^2，，且n\to \infty，则有： \]

\[原式=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2} +...+\frac{n}{n^2} \]

\[=\lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} \]

\[=\frac{1}{2} \]

1.2 求解n次根式的极限

• 重要结论：

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + ... + a_m^n}=max\{a_i\} \]

\[（其中：a_i>0,i=1,2,3,...m） \]

夹逼原理 例题2

\[求极限：\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{1+2^n+3^n} \]

解法1（提出最大项）

\[原式=\lim_{n\to \infty}3 \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}+\frac{2^n}{3^n}+1}=3 \]

解法2（夹逼原理）

\[设原式=y，则有： \]

\[\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{3^n} \leq y\leq \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{3 \cdot 3^n} \]

\[又： \]

\[\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{3^n}=\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{3 \cdot 3^n}=3 \]

\[则：原式=3 \]

夹逼原理 例题3 (2008年)

\[设0<a<b，则\lim_{n \to \infty}(a^{-n} + b^{-n})^{\frac{1}{n}}=? \]

解：

\[原式=\lim_{n \to \infty}((\frac{1}{a})^n +(\frac{1}{b})^n)^{\frac{1}{n}} \]

\[由于0<a<b，则原式=a^{-1} \]

夹逼原理 例题4

\[求极限：\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n}，其中：x>0 \]

解：

\[原式=max\{1，x^n，(\frac{x^2}{2})^n\}= \begin{cases} 1，x<1\\\\ x， 1<x\leq 2\\\\ \frac{x^2}{2}，x>2 \end{cases} \]

2. 利用单调有界准则求极限

单调有界求极限 例题

\[设x_1>0，x_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot(x_n+\frac{1}{x_n})，n=1，2，3，... \]

\[求：\lim_{n \to \infty}x_n \]

解：

\[由原式x_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot(x_n+\frac{1}{x_n})，可得： \]

\[x_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot(\sqrt{x_n}^2+\sqrt{\frac{1}{x_n}}^2) \geq \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot \sqrt{x_n}\cdot \sqrt{\frac{1}{x_n}} \]

\[\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot(\sqrt{x_n}^2+\sqrt{\frac{1}{x_n}}^2) \geq 1 \]

\[\tag{1} \Rightarrow x_n \geq 1 \Rightarrow x_{n+1}\geq 1 \]

\[又x_1>0，由归纳法可得x_n\geq0，则： \]

\[\tag{2} x_{n+1}-x_n=\frac{1}{2}\cdot \frac{{x_n}^2+1}{x_n}-x_n= \frac{1-{x_n}^2}{2x_n}\leq0 \]

\[或：\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{x_n^2+1}{x_n^2} \leq1 \]

\[由式（1）、式（2）得： \]

\[数列\{x_n\}单调递减，且有下界值为1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}x_n存在 \]

\[设\lim_{n \to \infty}x_n=a，则有： \]

\[a=\frac{1}{2}\cdot(a+\frac{1}{a})\Rightarrow a= \pm 1 \]

\[而x_n>0，故： \]

\[\lim_{n \to \infty}x_n=1 \]

3. 利用定积分定义求极限

定积分定义求极限 例题

\[求极限：\lim_{n\to \infty}[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}] \]

解法1（提“可爱因子”求定积分）：

\[\tag{1} 原式=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\cdot [\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+...+\frac{1}{1+\frac{n}{n}}] \]

\[式（1）中，变化因子为：\frac{1}{n}，\frac{2}{n}，...\frac{n}{n} \]

\[又n\to \infty，则变化因子的变化区间为(0,1) \]

\[则原式可转化为定积分(黎曼和)： \]

\[\int_0^1 \frac{1}{1+x}dx=\big[ln(1+x)\big]_0^1=ln2 \]