高等数学笔记04：函数与极限 常用的极限求法（上篇）
高等数学笔记04：函数与极限 常用的极限求法（上篇）
1. 利用基本极限求解
1.1 常用的基本极限
- （1）
\[\lim_{x \to 0}\frac{sin\,x}{x}=1
\]
- （2）重点记忆：
\[\lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e
\]
- （3）重点记忆：
\[\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e
\]
- （4）
\[\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x} = ln\,a
\]
- （5）
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=1
\]
- （6）
\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a}=1 ，（a >0）
\]
- （7）重点记忆（泰勒公式的延申：多项式比值求极限）：
\[x \to \infty时：
\]
\[\lim_{x \to \infty}{\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}...+a_1x+a_0}
{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}...+b_1x+b_0}}
=
\begin {cases}
\frac{a_n}{b_m}，m=n（最高非零次项相除）\\
0,n<m\\
\infty，n>m
\end{cases}
\]
\[x\to 0时：
\]
\[\lim_{x \to 0}{\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}...+a_{n-k}x^{n-k}+a_0}
{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}...+b_{m-k}x^{m-k}+b_0}}
=
\begin {cases}
\frac{a_{n-k}}{b_{m-k}}，m=n（最低非零次项相除）\\
\infty,n<m\\
0，n>m
\end{cases}
\]
\[（其中，a_{n-k}、b_{m-k}为最低非零次项）
\]
- （8）重点记忆：
\[\lim_{n\to\infty}x^n=
\begin {cases}
0，|x|<1\\
\infty，|x|>1\\
1，x=1\\
\varnothing，x=-1
\end{cases}
\]
- (9)
\[\lim_{n \to \infty}e^{nx}=
\begin {cases}
0，x<0\\
+\infty，x>0\\
1，x=0
\end {cases}
\]
1.2 形如\(1^{\infty}\)型的极限常用结论
\[设存在极限\lim [1+a(x)]^{b(x)}，其中：x\to0或x \to \infty
\]
\[若：\lim a(x)=0，\lim b(x)=\infty，且\lim a(x)b(x)=A
\]
\[则：\lim [1+a(x)]^{b(x)}=\lim \{[1+a(x)]^{\frac{1}{a(x)}}\}^{a(x)\cdot b(x)}
\]
\[\tag{1}
=e^A
\]
2.利用等价无穷小代换求解
2.1 常用的等价无穷小
当\(x\to0\)：
- （1）关于\(x\)的等价无穷小：
\[x \sim sin\,x \sim tan\,x \sim arcsin\,x \sim arctan\,x \sim ln(1+x)
\sim (e^x -1)
\]
- （2）常见等价无穷小：
\[a^x -1 \sim x \cdot ln\,a
\]
\[(1+x)^a-1 \sim ax
\]
\[1-cos\,x \sim \frac{1}{2} \cdot x^2
\]
- （3）\(sin\,x\)和\(tan\,x\)的衍生：
\[(x - sin\,x) \sim (arcsin\,x - x) \sim \frac{1}{6}\cdot x^3
\]
\[(tan\,x -x) \sim (x - arctan\,x) \sim \frac{1}{3} \cdot x^3
\]
- （4）\((1+x)^a-1\) 的衍生：
\[设存在函数\alpha(x)，\beta(x)
\]
\[若\alpha(x) \sim 0，且\alpha(x) \cdot \beta(x) \sim 0，则有：
\]
\[[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}-1 \sim \alpha(x) \cdot \beta(x)
\]
\[证明：
\]
\[由\alpha(x) \sim 0，可得：
\]
\[[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}-1=e^{\beta(x)\cdot ln[1+\alpha(x)]}-1
\]
\[=e^{\alpha(x)\cdot \beta(x)}-1
\]
\[由\alpha(x) \cdot \beta(x) \sim 0，可得：
\]
\[e^{\alpha(x)\cdot \beta(x)}-1 = \alpha(x)\cdot \beta(x)
\]
\[即：[1+\alpha(x)]^{\beta(x)}-1 \sim \alpha(x) \cdot \beta(x)
\]
2.2 代换原则
设存在无穷小量\(\alpha，\alpha_1，\beta，\beta_1\)：
- （1）乘除关系（可直接代换）：
\[若\alpha \sim \alpha_1，\beta \sim \beta_1，则：
\lim \frac{\alpha}{\beta}=\lim \frac{\alpha_1}{\beta_1}
=\lim \frac{\alpha_1}{\beta}= \lim \frac{\alpha}{\beta_1}
\]
- (2)减法关系（在\(\alpha和\beta不等价\)的条件下可代换）：
\[若\alpha \sim \alpha_1，\beta \sim \beta_1，且\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq1（即\alpha和\beta不等价）
\]
\[则：(\alpha-\beta) \sim (\alpha_1 - \beta_1)
\]
\[（2）的证明（反证法）：
\]
\[(\alpha-\beta) \sim (\alpha_1 - \beta_1) \Leftrightarrow
\lim \frac{(\alpha-\beta)}{(\alpha_1 - \beta_1)}=1
\]
\[\Rightarrow \lim \frac{(\alpha-\beta)}{(\alpha_1 - \beta_1)}=1
\]
\[\Rightarrow \lim \frac{\beta\cdot(\frac{\alpha}{\beta}-1)}{\beta_1\cdot(\frac{\alpha_1}{\beta_1} - 1)}=1
\]
\[则有：\alpha \sim \alpha_1，\beta \sim \beta_1，且\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq1
\]
- （3）加法关系（在\(\alpha和-\beta不等价\)的条件下可代换）：
\[若\alpha \sim \alpha_1，\beta \sim \beta_1，且\frac{\alpha_1}{\beta_1}=A\neq -1（即\alpha和-\beta不等价）
\]
\[则：(\alpha + \beta) \sim (\alpha_1 + \beta_1)
\]
3.利用有理运算法则求解
3.1 有理运算法则
设存在极限\(\lim f(x)=A，\lim g(x)=B\)
则其满足以下有理运算法则：
（1）加减法则：
\[\lim f(x) \pm g(x)=A \pm B
\]
（2）乘法则:
\[\lim f(x) \cdot g(x)=A \cdot B
\]
（3）除法则：
\[\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}（B \neq 0）
\]
3.2 极限存在性推导
3.1中，如果极限A或极限B不存在，那么需进一步对有理运算法则中的极限存在性进行推导。
推到过程如下（其中符号“\(\lnot\)”表示极限不存在）：
（1）加减法则的极限存在性：
\[\begin {cases}
a. \quad(A \land \lnot B) \lor (B \land \neg A)
\;\Longrightarrow\;
\neg(A \pm B)\quad **此推导最为重要\\
b. \quad \lnot A \land \lnot B \Longrightarrow (A \pm B)不确定
\end{cases}
\]
\[如：\lim_{n \to \infty} n \pm \frac{1}{n}，\lim_{n \to \infty} n+ (-n)=0
\]
（2）乘法法则中的极限存在性：
\[\lnot(A \land B)
\;\Longrightarrow\;(A \cdot B)不确定\\
\]
\[如：\lim_{x \to \infty} n^2 \cdot \frac{1}{n}=\infty，\lim_{n \to \infty}(-1)^n \cdot (-1)^n = 1
\]
（3）除法法则中的极限存在性（逻辑同乘法法则）：
\[\lnot(A \land B)
\;\Longrightarrow\;(\frac{A}{B})不确定\\
\]
\[如：\lim_{x \to \infty} \frac{n}{n}=1，\lim_{x \to \infty} \frac{n^2}{n}=\infty
\]
3.3 乘除法则常用结论
（1）结论1：可直接提取非零极限因子
\[\lim f(x)=A\neq0 \Longrightarrow \lim f(x)\cdot g(x)= A\cdot \lim g(x)
\]
\[特别地，由A\neq 0可得：
\begin{cases}
\lim g(x)存在 \Leftrightarrow \lim f(x)\cdot g(x)存在\\
\lim g(x)不存在 \Leftrightarrow \lim f(x)\cdot g(x)不存在
\end{cases}
\]
（2）结论2：分母为零，可推出分子为零
\[\lim \frac{f(x)}{g(x)}存在，且g(x)=0\; \Longrightarrow f(x)=0
\]
\[证明如下：
\]
\[\lim \frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x) =0 \Longrightarrow f(x)=0
\]
(3)结论3：分子为零，一定条件下可推出分子为零
\[\lim \frac{f(x)}{g(x)}=A\neq0，f(x)=0 \; \Longrightarrow g(x)=0
\]
\[证明如下：
\]
\[由A\neq0，f(x)=0可得：\lim \frac{f(x)}{A}=\frac{f(x)}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0
\]
\[\Longrightarrow g(x)=0
\]
4. 利用洛必达法则求解
设存在以下极限式：
\[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}
\]
若其满足以下条件：
\[\begin {cases}
(1)\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=0或\infty（即\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}）\\
(2)f(x)和g(x)在x=x_0的某去心邻域内可导，且g'(x)\neq0\\
(3)\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} 极限存在或为\infty
\end {cases}
\]
则有：
\[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}
=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
5. 利用泰勒公式求解
5.1 泰勒公式-佩亚诺余项
\[设函数f(x)在x=x_0处n阶可导，则有：
\]
\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}\cdot(x-x_0)^2
+...+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot(x-x_0)^n+o(x-x_0)^n
\]
5.2 常用函数在\(x_0=0\)处的泰勒展开式
（1）\(e^x\)：
\[当x_0=0：
\]
\[e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+...+\frac{1}{n!}x^n+o(x^n)
\]
(2) \(sin\,x\)：
\[当x_0=0：
\]
\[n为偶数：sin\,x=x + (- \frac{x^3}{3!})+\frac{x^5}{5!}
+...+(-1)^{\frac{n}{2}}\cdot \frac{x^{(n-1)}}{(n-1)!}+o(x^n)
\]
\[n为奇数：
sin\,x=x + (- \frac{x^3}{3!})+\frac{x^5}{5!}
+...+(-1)^{\frac{n}{2}}\cdot \frac{x^n}{n!}+o(x^n)
\]
（3）\(cos\,x\)：
\[当x_0=0：
\]
\[n为偶数：cos\,x=1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...
- (-1)^{\frac{n}{2}}\cdot \frac{x^{(n-1)}}{(n-1)!}+o(x^n)
\]
\[n为奇数：cos\,x=1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...
- (-1)^{\frac{n}{2}}\cdot \frac{x^n}{n!}+o(x^n)
\]
（4）\(ln(1+x)\)：
\[当x_0=0：
\]
\[ln(1+x)=x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+...
+(-1)^{(n-1)}\cdot \frac{1}{n}x^n+o(x^n)
\]
（5）\((1+x)^a\)：
\[当x_0=0：
\]
\[(1+x)^a=1+ax + \frac{a(a-1)x^2}{2!}
+...+\frac{a(a-1)(a-2)...(a-n+1)x^n}{n!}+o(x^n)
\]
5.3 特殊函数在\(x_0=0\)处的泰勒展开式
由定理：\(\alpha \sim \beta \Rightarrow \alpha = \beta+o(\beta)\)，可推出以下几个函数在\(x_0=0\)处的泰勒展开式：
（1）\(tan\,x\)：
\[由于x \to 0时，有：(tan\,x-x) \sim \frac{1}{3}x^3
\]
\[则当x_0=0，有：
\]
\[tan\,x=\frac{1}{3}x^3+x+o(x^3)
\]
（2）\(arctan\,x\)：
\[由于x \to 0时，有：(x-arctan\,x) \sim \frac{1}{3}x^3
\]
\[则当x_0=0，有：
\]
\[arctan\,x=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)
\]
（3）\(arcsin\,x\)：
\[由于x \to 0时，有：(arcsin\,x - x) \sim \frac{1}{6}x^3
\]
\[则当x_0=0，有：
\]
\[arcsin\,x=x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)
\]
6. 常用的极限求法相关例题
6.1 基本极限求解的相关例题
基本极限求解例题1（易错典型）：
\[题目：\qquad\lim_{n \to \infty}\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}\cdot sin\,\frac{1}{n}
\]
\[解：
\]
\[\qquad\lim_{n \to \infty}\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}\cdot sin\,\frac{1}{n}
\]
\[\quad=\lim_{n \to \infty}\frac{n^{n}}{(n+1)^n}\cdot n \cdot \frac{1}{n}
\]
\[=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{e}
\]
基本极限求解例题2(2022年)：
\[题目：\lim_{x \to 0}(\frac{1+e^x}{2})^{cot\,x}
\]
\[解：
\]
\[\lim_{x \to 0}(\frac{1+e^x}{2})^{cot\,x}
\]
\[=\lim_{x \to 0}(1+\frac{e^x-1}{2})^{cot\,x}
\]
\[又：\lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)}{2}\cdot cot\,x=\lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)}{2}\cdot \frac{cos\,x}{sin\,x}=\frac{1}{2}
\]
\[则原式\lim_{x \to 0}(1+\frac{e^x-1}{2})^{cot\,x}=e^{\frac{1}{2}}
\]
基本极限求解例题3(2010年)：
\[题目：\lim_{x \to \infty}(\frac{x^2}{(x-a)(x+b)})^x
\]
\[解：
\]
\[\lim_{x \to \infty}(\frac{x^2}{(x-a)(x+b)})^x
\]
\[=\lim_{x \to \infty}(\frac{x}{(x-a)})^x \cdot (\frac{x}{(x+b)})^x
\]
\[=\lim_{x \to \infty}(\frac{x-a}{x})^{-x} \cdot (\frac{x+b}{x})^{-x}
\]
\[=\lim_{x \to \infty}(1-\frac{a}{x})^{-x} \cdot (1+\frac{b}{x})^{-x}
\]
\[=e^{a-b}
\]
基本极限求解例题4：
\[题目：\lim_{n \to \infty}(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3})^n
\]
\[解：
\]
\[\lim_{n \to \infty}(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3})^n
\]
\[=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}-3}{3})^n
\]
\[又：\lim_{n \to \infty}n \cdot \frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}-3}{3}
\]
\[=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{3} \cdot \frac{(\sqrt[n]{a}-1)+(\sqrt[n]{b}-1)+(\sqrt[n]{c}-1)}{\frac{1}{n}}
\]
\[由：\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x}=ln\,a
\]
\[\Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{1}{3} \cdot \frac{(\sqrt[n]{a}-1)+(\sqrt[n]{b}-1)+(\sqrt[n]{c}-1)}{\frac{1}{n}}
\]
\[=\frac{1}{3}\cdot (ln\,a+ln\,b+ln\,c)
\]
\[=ln\sqrt[3]{abc}
\]
\[则原式\lim_{n \to \infty}(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3})^n=e^{ln\sqrt[3]{abc}}=\sqrt[3]{abc}
\]
6.2 利用等价无穷小代换求解的相关例题
等价无穷小例题1（2016年）
\[\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+f(x)\cdot sin2x} -1}{e^{3x}-1}=2，则\lim_{x \to 0}f(x)=\_\_\_\_
\]
\[解：
\]
\[由等价无穷小代换得：
\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+f(x)\cdot 2x} -1}{3x}=2
\]
\[由(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x
\]
\[\Rightarrow \lim_{x \to 0}\frac{f(x)\cdot x}{3x}=2
\]
\[\Rightarrow \lim_{x \to 0}f(x)=6
\]
等价无穷小例题2（2015）
\[\lim_{x \to 0}\frac{ln(cos\,x)}{x^2}
\]
解法1（洛必达法则）：
\[原式=\lim_{x \to 0}\frac{-tan\,x}{2x}=-\frac{1}{2}
\]
解法2（凑等价无穷小）：
\[原式=\lim_{x \to 0}\frac{ln[1+(cos\,x-1)]}{x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{cos\,x-1}{x^2}=\frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2}=-\frac{1}{2}
\]
解法3（拉格朗日中值定理）：
\[原式=\lim_{x \to 0}\frac{ln(cos\,x)-ln(1)}{x^2}
=\lim_{x \to 0}\frac{ln'(\xi)\cdot(cos\,x -1)}{x^2}
=-\frac{1}{2\xi}
\]
\[由\xi \in (\lim_{x\to0}cos\,x,1)得：\xi=1
\]
\[\Rightarrow 原式=-\frac{1}{2}
\]
等价无穷小例题3（2009）：
\[\lim_{x\to0}\frac{e-e^{cos\,x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}
\]
【解法1 拉格朗日中值定理】:
\[原式=3\cdot \lim_{x\to0}\frac{e-e^{cos\,x}}{x^2}
=3\cdot \lim_{x\to0}\frac{e^{\xi}\cdot(1-cos\,x)}{x^2}
\]
\[由\xi \in (\lim_{x\to0}cos\,x,1) \Rightarrow \xi=1
\]
\[则原式=\frac{3e}{2}
\]
【解法2 凑等价无穷小】：
\[原式=3\cdot\lim_{x\to0}\frac{e^{cos\,x}\cdot [e^{(1-cos\,x)}-1]}{x^2}
\]
\[=\lim_{x\to0}3e\cdot\frac{e^{\frac{1}{2}x^2}-1}{x^2}=\frac{3e}{2}
\]
【解法3：洛必达法则】：
\[原式=3\cdot \lim_{x\to0}\frac{e-e^{cos\,x}}{x^2}
\]
\[=3\cdot \lim_{x\to0}\frac{e^{cos\,x}\cdot sin\,x}{2x}
\]
\[=\frac{3e}{2}
\]
等价无穷小例题4（2006年）：
\[\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}[(\frac{2+cos\,x}{3})^x-1]
\]
- 解法1 使用\(e^{ln\,x}\)进行求解：
\[原式=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}[e^{x\cdot ln(\frac{2+cos\,x}{3})}-1]
\]
\[=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}[x\cdot ln(\frac{2+cos\,x}{3})]
\]
\[=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}[x\cdot ln(1-\frac{1}{6}x^2)]
\]
\[=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}[x\cdot -\frac{1}{6}x^2]
\]
\[=-\frac{1}{6}
\]
- 解法2 使用\((1+x)^a-1\) 的衍生法则进行求解：
\[原式=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}[(\frac{3+cos\,x-1}{3})^x-1]
\]
\[=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}[(1-\frac{1}{6}x^2)^x-1]
\]
\[由(1+x)^a-1的衍生法则可得：
\]
\[=\lim_{x\to0}\frac{1}{x^3}[-\frac{1}{6}x^3]
\]
\[=-\frac{1}{6}
\]
等价无穷小例题5：
\[求极限：\lim_{x \to 0}\frac{arcsin\,x-sin\,x}{arctan\,x-tan\,x}
\]
\[解：原式=\lim_{x \to 0}\frac{arcsin\,x-x}{arctan\,x-x}
\]
\[=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{6}x^3}{-\frac{1}{3}x^3}
\]
\[=-\frac{1}{2}
\]
6.3 利用有理运算法则求解的相关例题
有理运算法则例题1（2010年，数三）：
\[若\lim_{x \to 0}[\frac{1}{x}-(\frac{1}{x}-a)e^x]=1，则a=\_\_\_
\]
\[解：
\]
\[原式=\lim_{x \to 0}[\frac{1}{x}-\frac{e^x}{x}+ae^x]
\]
\[\Leftrightarrow\lim_{x \to 0}[ae^x-1]=1
\]
\[\Rightarrow a=2
\]
有理运算法则例题2（2018年，数三）
\[实数a,b满足：\lim_{x \to +\infty} [(ax+b)e^{\frac{1}{x}} - x]=2，求a，b
\]
\[解：
\]
\[原式\Leftrightarrow \lim_{x \to +\infty} [axe^{\frac{1}{x}}+be^{\frac{1}{x}} - x]=2
\]
\[\lim_{x \to +\infty}x(ae^{\frac{1}{x}}-1)=2
\]
\[\Rightarrow \lim_{x \to +\infty}(ae^{\frac{1}{x}}-1)必为0
\]
\[\Rightarrow a=1，代入原式，得：
\]
\[原式\Leftrightarrow \lim_{x \to +\infty} [(x+b)e^{\frac{1}{x}} - x]=2
\]
\[\lim_{x \to +\infty} xe^{\frac{1}{x}}+b - x=2
\]
\[x(e^{\frac{1}{x}}-1)+b=2
\]
\[\Rightarrow b=2
\]
有理运算法则例题3 (2004,数三)
\[\lim_{x \to 0} \frac{sin\,x}{e^x-a}(cos\,x - b)=5，求a=\_\_\_，b=\_\_\_
\]
\[解：
\]
\[原式 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} \frac{sin\,x}{e^x-a}(1 - b)=5
\]
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{e^x-a}(1 - b)=5
\]
\[由有理运算的乘法法则可得：a必为1
\]
\[\Rightarrow 1-b=5
\]
\[故：a=1，b=-4
\]
有理运算法则例题4 （1997,数二）
\[\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+sin\,x}}
\]
解法1 利用负无穷的性质：
\[由\lim_{x \to -\infty}\sqrt{x^2}=-x，可得：
\]
\[原式 \Leftrightarrow
\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}-1-\frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{sin\,x}{x^2}}}
\]
\[=1
\]
解法2 利用泰勒多项式求极限：
\[\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+sin\,x}}
\]
\[=\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{4x^2+x-1}}{\sqrt{x^2+sin\,x}}
+
\lim_{x \to -\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+sin\,x}}
\]
\[由泰勒多项式求极限的方法，可得：
\]
\[原式=2-1=1
\]
6.4 利用洛必达法则求解的相关例题
洛必达法则 例题1
\[求极限：\lim_{x \to 1}\frac{ln\,cos(x-1)}{1-sin\,\frac{\pi}{2}x}
\]
\[解：
\]
\[原式=\lim_{x \to 1}\frac{-tan\,(x-1)}{-cos\frac{\pi}{2}x\cdot \frac{\pi}{2}}
\]
\[=-\frac{4}{\pi^2}\lim_{x \to 1}\cdot \frac{1}{sin\,\frac{\pi}{2}x}
\]
\[=-\frac{4}{\pi^2}
\]
洛必达法则 例题2（1988年）
\[求极限：\lim_{x \to 1}(1-x^2)tan\,\frac{\pi}{2}x
\]
\[解：
\]
\[原式=0 \cdot \infty型
\]
\[=\lim_{x \to 1}(1-x^2)\cdot\frac{sin\,\frac{\pi}{2}x}{cos\,\frac{\pi}{2}x}
\]
\[=\lim_{x \to 1}(1+x)(1-x)\frac{1}{cos\,\frac{\pi}{2}x}
\]
\[=2 \cdot \frac{1}{\frac{\pi}{2}}
\]
\[=\frac{4}{\pi}
\]
洛必达法则 例题3
\[求极限:\lim_{x \to +\infty}(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{x}}
\]
\[解：
\]
\[原式=\lim_{x \to +\infty}e^{\frac{1}{x}\cdot ln(x+\sqrt{1+x^2})}
\]
\[\qquad=\lim_{x \to +\infty}e^{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}=1
\]
洛必达法则 例题4
\[设f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=2
\]
\[求：\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-x}{x^2}
\]
解法1（导数定义求解）：
\[原式=\lim_{x \to 0}\frac{f'(x)-1}{2x}
\]
\[=\frac{1}{2}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{f''(x)-f'(x)}{x}
\]
\[（*注：此处无法判断f''(x)是否连续，故不可直接代入f''(0)=2）
\]
\[由导数定义，可得：
\]
\[原式=\frac{1}{2}\cdot f''(0)=1
\]
解法2（泰勒公式求解）：
\[由泰勒公式：f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+\frac{f''(0)\cdot x^2}{2!}+o(x^2)
\]
\[=x+x^2+o(x^2)
\]
\[则：\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-x}{x^2}=1
\]
6.5 利用泰勒公式求解的相关例题
泰勒公式 例题1
\[求极限：\lim_{x \to 0}\frac{cos\,x - e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}
\]
解法1（泰勒公式）：
\[原式=\lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}
- (1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{2!\cdot 4})}{x^4}
\]
\[=\frac{1}{4!}-\frac{1}{2!\cdot 4}
\]
\[=-\frac{1}{12}
\]
解法2（洛必达法则+等价无穷小）：
\[原式=\lim_{x \to 0}\frac{-sin\,x + e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot x}{4x^3}
\]
\[=\lim_{x \to 0}\frac{x-sin\,x - x(1-e^{-\frac{x^2}{2}})}{4x^3}
\]
\[=\lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{6}x^3 - x(1-e^{-\frac{x^2}{2}})}{4x^3}
\]
\[=\frac{1}{4}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{1}{6}-\frac{1}{2}
\]
\[=-\frac{1}{12}
\]
泰勒公式 例题2（1994年）
\[设\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x^2}=2，则：
\]
\[A. \quad a=1,b=-\frac{5}{2} \qquad B. \quad a=0,b=-2
\]
\[C. \quad a=0，b=-\frac{5}{2} \qquad D. \quad a=1，b=-2
\]
解法1（泰勒公式直接展开）：
\[由泰勒公式展开可得：
\]
\[\lim_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^2}{2}-(ax+bx^2)+o(x^2)}{x^2}=2
\]
\[\Rightarrow
\lim_{x\to 0}\frac{(1-a)x-(\frac{1}{2}+b)x^2+o(x^2)}{x^2}=2
\]
\[则上式中，必有：1-a=0 \Rightarrow a=1
\]
\[故有：\lim_{x\to 0}\frac{-(\frac{1}{2}+b)x^2+o(x^2)}{x^2}=2
\]
\[\Rightarrow b=-\frac{5}{2}
\]
解法2（泰勒公式间接展开）：
\[由\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty，可知：
\]
\[\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)-(ax+bx^2)}{x}=0
\]
\[\Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{x(1-a)-bx^2}{x}=0 \Rightarrow a=1
\]
\[代入原式，得：
\]
\[\lim_{x\to 0}\frac{ln(1+x)-x-bx^2}{x^2}=2
\]
\[\Rightarrow \lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)-bx^2}{x^2}=2
\]
\[\lim_{x\to 0}-\frac{1}{2}-b=2
\]
\[b=-\frac{5}{2}
\]
解法3 （排除法）：
\[由选项代入a=0，则原式=\infty\neq2，故a=1
\]
泰勒公式 例题3（2000年）
\[若\lim_{x \to 0}(\frac{sin\,6x+x\cdot f(x)}{x^3})=0，则\lim_{x \to 0}\frac{6+f(x)}{x^2}=？
\]
解：
\[原式\lim_{x \to 0}(\frac{sin\,6x+x\cdot f(x)}{x^3})=0
\]
\[\Rightarrow \lim_{x \to 0}(\frac{6x-\frac{(6x)^3}{3!}+x\cdot f(x)}{x^3})=0
\]
\[\lim_{x \to 0}\frac{6+f(x)}{x^2}=36
\]
\[注：加法里不可随意替换等价无穷小
\]
\[即：\lim_{x \to 0} sin\,6x+x\cdot f(x)不可写为：\lim_{x \to 0} 6x+x\cdot f(x)
\]
泰勒公式 例题4（2009年）
\[求极限：\lim_{x \to 0}\frac{(1-cos\,x)[x-ln\,(1+tan\,x)]}{sin^4\,x}
\]
解法1（泰勒公式展开）：
\[原式=\frac{1}{2}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{x^2\cdot [x-(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2))]}{x^4}
\]
\[=\frac{1}{2}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{[(\frac{x^2}{2}-o(x^2))]}{x^2}
\]
\[=\frac{1}{4}
\]
解法2（等价无穷小）：
\[原式=\frac{1}{2}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{[x-ln\,(1+tan\,x)]}{x^2}
\]
\[=\frac{1}{2}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{sec^2x}{1+tan\,x}}{2x}
\]
\[=\frac{1}{2}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{\frac{tan\,x-tan^{2}x}{1+tan\,x}}{2x}
\]
\[=\frac{1}{4}\cdot \lim_{x \to 0}\frac{\frac{tan\not \,x(1-tan\,x)}{1}}{\not x}
\]
\[=\frac{1}{4}
\]
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