高等数学笔记03：函数与极限 极限的概念与性质
高等数学笔记03：函数与极限 极限的概念与性质
1. 极限的概念
1.1 数列的极限
\[设存在数列\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}，
\]
\[\tag{1}
则极限式\lim_{n \to \infty} x_n = a 的含义为：
\]
\[\forall \epsilon > 0，\exist N>0
\]
\[当 n > N，恒有：
\]
\[|x_n - a| < \epsilon
\]
\[
\Leftrightarrow -\epsilon < x_n - a < \epsilon
\]
由上，还可得极限的两种性质：
- （1）有界性：
\[\tag{2}
由|x_n - a| < \epsilon ，可知\lim_{n \to \infty} x_n的上界为：a+\epsilon，下界为：a-\epsilon
\]
- （2）保号性：
\[\tag{3}
设\lim_{n \to \infty} x_n=a
\]
\[若a>0，则由极限定义1可知，当n>N，恒有：x_n>0
\]
- （3）数列极限与前有限项(前N项)无关：
\[\tag{4}
\lim_{n \to \infty} x_n
= \lim_{n \to \infty} x_{n-1}
= \lim_{n \to \infty} x_{n-2}
......
= \lim_{n \to \infty} x_{n-N}
= a
\]
- （4）数列的极限与其部分列的极限存在以下关系：
\[\lim_{n \to \infty} x_n=a
\]
\[\Leftrightarrow \lim_{k \to \infty} x_{2k} = \lim_{k \to \infty} x_{2k+1}=a
\]
\[\Leftrightarrow \lim_{k \to \infty} x_{3k} = \lim_{k \to \infty} x_{3k+1}= \lim_{k \to \infty} x_{3k+2}=a
\]
\[......
\]
\[即：若数列极限存在，则数列所有部分列的极限均与数列极限相同；
\]
\[反之亦成立（注：所有部分列的极限必须相同）
\]
\[典型示例：\lim_{n \to \infty}(-1)^n不存在，因：\lim_{k \to \infty}(-1)^{2k}=1，\lim_{k \to \infty}(-1)^{2k+1}=-1
\]
1.2 函数的极限
1.2.1 自变量\(x\)趋于无穷大时的极限
\[\tag{5}
设存在函数f(x)，形如\lim_{x \to \infty} f(x)=A的三种极限式及其含义如下：
\]
\[（1） \lim_{x \to +\infty} f(x)=A：\forall \epsilon>0，\exist X>0，使x>X，则恒有：|f(x)-A|<\epsilon
\]
\[（2） \lim_{x \to -\infty} f(x)=A：\forall \epsilon>0，\exist X>0，使x<-X，则恒有：|f(x)-A|<\epsilon
\]
\[（3） \lim_{x \to \infty} f(x)=A：\forall \epsilon>0，\exist X>0，使x>|X|，则恒有：|f(x)-A|<\epsilon
\]
由上，可得函数的极限相关定理：
- 定理1：
\[\tag{6}
\lim_{x \to \infty} f(x)=A \Leftrightarrow \lim_{x \to +\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty} f(x)=A
\]
1.2.2 自变量\(x\)趋于有限值\(x_0\)时的极限
\[\tag{7}
设存在函数f(x)，则极限式\lim_{x \to x_0}f(x)=A的含义为：
\]
\[\forall \epsilon>0，\exist \delta>0，使0<|x-x_0|<\delta，则恒有：|f(x)-A|<\epsilon
\]
\[（注：x \neq x_0，即|x-x_0|>0）
\]
由坐标系中，\(x\)相对于\(x_0\)的位置，还可引出左右极限的概念：
\[\tag{8}
左极限：当x位于x_0的左侧，极限式可表示为\lim_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0^-)=f(x_0 - 0)=A
\]
\[\tag{9}
右极限：当x位于x_0的右侧，极限式可表示为\lim_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0^+)=f(x_0 + 0)=A
\]
由定理1，可同理得到定理2：
- 定理2：
\[\lim_{x \to x_0}f(x)=A \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0^+}f(x)=\lim_{x \to x_0^-}f(x)=A
\]
- 常见的左右极限求解问题：
\[（1）分段函数：分界点处的左右极限不同
\]
\[（2）e^{\infty}型：
\lim_{x \to +\infty}e^x=+\infty，\lim_{x \to -\infty}e^x=0\\
\]
\[\qquad \qquad \qquad\lim_{x \to 0^+}e^{\frac{1}{x}}=+\infty，\lim_{x \to 0^-}e^{\frac{1}{x}}=0\\
\]
\[（3）arctan\;\infty型：\lim_{x \to +\infty}arctan\;x=\frac{\pi}{2}
\qquad\lim_{x \to -\infty}arctan\;x=-\frac{\pi}{2}
\]
\[\qquad\qquad\qquad\qquad\quad
\lim_{x \to 0^+}arctan\;\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}
\qquad
\lim_{x \to 0^-}arctan\;\frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2}
\]
2. 极限的性质
2.1 极限的有界性
\[\tag{10}
（1）数列{X_n}收敛 \Rightarrow 数列X_n一定有界
\]
\[（2）\lim_{x \to x_0}f(x)存在 \Rightarrow f(x)在x_0的某段去心领域内有界（即局部有界）
\]
2.2 极限的保号性
\[
\]
- 数列的保号性：
\[设存在数列X_n，且有\lim_{n \to \infty}X_n=A，则其保号性满足：
\]
\[\tag{11}
用A保X_n，A=0则不能保
\begin{cases}
\forall A>0，\exist N>0，当n>N，恒有：X_n>0；\\
同理，\forall A<0，\exist N>0，当n>N，恒有：X_n<0\\
\end{cases}
\]
\[用X_n保A，X_n可为0
\begin{cases}
\forall N>0，\exist n>N ，当X_n \geq 0，恒有：A\geq0；\\
同理，\forall N>0，\exist n>N ，当X_n \leq 0，恒有：A\leq0\\
\end{cases}
\]
- 函数的保号性：
\[设存在函数f(x)，且\lim_{x \to x_0}f(x)=A，则其保号性满足：
\]
\[\tag{12}
\begin {cases}
\forall A>0，\exist \delta>0，当x\in \mathring{U}(x_0,\delta)，恒有：f(x)>0；\\
\forall A<0，\exist \delta>0，当x\in \mathring{U}(x_0,\delta)，恒有：f(x)<0；
\end {cases}
（用A保f(x)，A=0则不能保）
\]
\[\begin{cases}
\forall \delta>0，\exist x \in \mathring{U}(x_0,\delta)，当f(x)\geq0，恒有：A\geq0；\\
\forall \delta>0，\exist x \in \mathring{U}(x_0,\delta)，当f(x)\leq0，恒有：A\leq0；\\
\end{cases}
（用f(x)保A）
\]
- 极限值与无穷小的关系：
\[\tag{13}
\lim f(x)=A \Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)，其中\lim \alpha(x)=0
\]
\[（极限式和原函数式的相互转换，用无穷小实现）
\]
极限的性质例题1：1995年
\[\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}=-1，则在点x=a处（）：
\]
\[A. f(x)导数存在，且f'(x)\neq0 \quad B.f(x)取得极大值 \quad C.f(x)取得极小值 \quad D.f(x)的导数不存在
\]
\[解：
\]
（1）常规方法：
\[\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}
\]
\[=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{2(x-a)}=-1
\]
\[\Rightarrow f'(x) =-2x+2a
\]
\[\Rightarrow f(x)在点x=a处的导数f'(a)=0，且f(x)开口向下，故f(x)在点x=a处取得极大值
\]
（2）直接法：
\[由\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}=-1
\]
\[\Rightarrow \lim_{x \to a}f(x)-f(a)<0
\]
\[由极限定义，f(x)在x=a处取得极大值
\]
（3）排除法：
\[由\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}=-1
\]
\[设\lim_{x \to a}f(x)=-(x-a)^2，f(a)=0
\]
\[则排除A、D
\]
\[又由f(x)开口向下可知选B
\]
3.极限存在准则
3.1 夹逼准则
\[设存在数列X_n，Y_n，Z_n，满足：X_n\leq Y_n \leq Z_n
\]
\[\tag{14}
且\forall N>0,\exist n>N，使\lim_{n \to \infty} X_n=\lim_{n \to \infty} Z_n=A
\]
\[则有：\lim_{n \to \infty} Y_n =A
\]
3.2 单调有界准则
\[单调有界数列必有极限：
\]
\[a.单调增且有上界\Rightarrow 必有极限
\]
\[b.单调减且有下界 \Rightarrow 必有极限
\]
3.3 极限存在准则例题
极限存在准则例题1：
\[求极限：\lim_{x \to \infty}[\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+...+\frac{n}{n^2+n}]
\]
\[解：
\]
\[由夹逼思想，可同化原式分母，产生大小值，即：
\]
\[同化分母为\frac{n}{n^2+1}，产生大值：[\frac{n^2}{n^2+1}]
\]
\[同化分母为\frac{n}{n^2+n}，产生小值：[\frac{n^2}{n^2+n}]
\]
\[由于：
\]
\[\frac{n^2}{n^2+n}\leq[\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+...+\frac{n}{n^2+n}] \leq \frac{n^2}{n^2+1}
\]
\[且 \lim_{x \to \infty}\frac{n^2}{n^2+n}=\lim_{x \to \infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1
\]
\[由夹逼准则，有：
\]
\[\lim_{x \to \infty}[\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+...+\frac{n}{n^2+n}]=1
\]
极限存在准则例题2：
\[求极限：
\]
\[\lim_{n \to \infty}\frac{2^n}{n!}
\]
- 解法1：
\[\frac{2^n}{n!}
=\frac{2\cdot2...\cdot2\cdot 2\cdot}{1\cdot2\cdot3\cdot...n}
=\frac{2 \cdot 2}{1\cdot n} \cdot \frac{2\cdot2\cdot2\cdot2...\cdot2}{2\cdot3\cdot...(n-1)}
\]
\[\Rightarrow 0 < \frac{2^n}{n!} < \frac{4}{n}
\]
\[由夹逼准则：
\]
\[\lim_{n \to \infty}\frac{2^n}{n!}=\lim_{n \to \infty}\frac{4}{n}=0
\]
- 解法2（解题思路扩展）：
\[设存在数列x_n=\frac{2^n}{n!}，其任意第i项、第i+1项为：x_i=\frac{2^i}{i!}，
x_{i+1}=\frac{2^{(i+1)}}{(i+1)!}
=\frac{2^i \cdot 2}{i!\cdot(i+1)}
\]
\[则：\frac{x_{i+1}}{x_i}=\frac{2}{i+1}
\]
\[由0 < \frac{2}{i+1} \leq1
\]
\[\Rightarrow 数列为单调递减数列，且有下界值为0
\]
\[由极限的单调有界准则可知： \lim_{n \to \infty}\frac{2^n}{n!}必然存在
\]
\[由\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{2}{n+1}可知：
\]
\[\lim_{n \to \infty}\frac{2}{n+1} \cdot x_n=\lim_{n \to \infty} x_{n+1}
\]
\[设 \lim_{n \to \infty} x_n=x_{n+1}=a，则有：0 \cdot a=a
\]
\[\Rightarrow a=0，即\lim_{n \to \infty}\frac{2^n}{n!}=0
\]
4. 无穷小量
4.1 无穷小量的概念
\[设存在函数f(x)：
\]
\[若\lim_{x \to \infty}f(x)=0，则称f(x)为x \to \infty时的无穷小量
\]
\[若\lim_{x \to x_0}f(x)=0，则称f(x)为x \to x_0时的无穷小量
\]
4.2 无穷小的比较
为比较不同函数极限趋于0的速度快慢，引入无穷小的比较，内容如下：
- （1）高阶无穷小：
\[\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0，称\alpha(x)是\beta(x)的高阶无穷小，记为a(x)=\omicron \,b(x)
\]
- （2）低阶无穷小：
\[\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty
\]
- (3) 同阶无穷小：
\[\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C \neq 0
\]
- （4）等价无穷小：
\[\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1，记为\alpha(x) \sim \beta(x)
\]
- （5）k阶无穷小：
\[\lim \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k}=C\neq0，称\alpha(x)是\beta(x)的k阶无穷小
\]
无穷小的比较例题（2013年）：
\[设cosx-1=x\cdot sin\;\alpha(x)，其中|\alpha(x)|<\frac{\pi}{2}
\]
\[则当x \to 0时，\alpha(x)是（\qquad）：
\]
\[A.\;比x高阶的无穷小量 \qquad\qquad\qquad B.\;比x低阶的无穷小量
\]
\[C.\;与x同阶但不等价的无穷小量 \qquad D.\;与x等价的无穷小量
\]
\[解：
\]
\[cosx-1=x\cdot sin\;\alpha(x)
\]
\[由：\lim_{x \to 0}cos\;x - 1 \sim \;\lim_{x \to 0}-\frac{1}{2}x^2
\]
\[ \qquad \quad \Rightarrow\lim_{x \to 0} cosx-1 = \lim_{x \to 0} x\cdot sin\;\alpha(x)
\]
\[\qquad \qquad \qquad \lim_{x \to 0} \frac{{-\frac{1}{2}x^2}}{x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{x\cdot sin\;\alpha(x)}{x^2}
\]
\[\lim_{x \to 0} \frac{sin\;\alpha(x)}{x}=-\frac{1}{2}
\]
\[\Rightarrow \lim_{x \to 0} sin\;\alpha(x) =0
\]
\[又由：|\alpha(x)|<\frac{\pi}{2}
\]
\[\Rightarrow \lim_{x \to 0} \alpha(x)=0
\]
\[即：\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{sin\;\alpha(x)}{x}=-\frac{1}{2}
\]
4.3 无穷小的性质
- （1）：有限个无穷小的和仍是无穷小
\[若：\lim_{x \to 0}\alpha(x)=0，\lim_{x \to 0}\beta(x)=0
\]
\[则：\lim_{x \to 0}\alpha(x)+\beta(x)=0
\]
- （2）：有限个无穷小的积仍是无穷小
\[若：\lim_{x \to 0}\alpha(x)=0，\lim_{x \to 0}\beta(x)=0
\]
\[则：\lim_{x \to 0}\alpha(x)\cdot \beta(x)=0
\]
注：以上性质必须是有限个无穷小，若为无穷则不成立：
\[\lim_{n \to \infty}n \cdot \frac{1}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + ... + \frac{1}{n}
=1
\]
- （3）：无穷小量与有界量的积仍是无穷小
\[若：\lim_{x \to 0}\alpha(x)=0，\lim_{x \to 0}\beta(x)有界
\]
\[则：\lim_{x \to 0}\alpha(x)\cdot \beta(x)=0
\]
无穷小的性质例题：
\[证明：\lim_{x \to 0}x \cdot sin\;\frac{1}{x}=0
\]
\[\because \lim_{x \to 0}x=0
\]
\[又 sin\;\frac{1}{x}有界
\]
\[\therefore \lim_{x \to 0}x=0
\]
5. 无穷大量
5.1 无穷大量的概念
- 以极限式进行描述：
\[设存在函数f(x)，若\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty 或\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty
\]
\[则称f(x)为x \to x_0或x \to \infty时的无穷大量
\]
- 以极限定义进行描述：
\[设存在函数f(x)，
\]
\[\forall M>0，\exist \delta >0，使0<|x-x_0|<\delta
\]
\[或：\forall M>0，\exist \delta >0，使x<\delta
\]
\[则恒有：|f(x)|>M
\]
5.2 常见无穷大量的比较
- （1）函数：\(x \to +\infty\)时：
\[\lim_{x \to \infty}ln^{\alpha}x << x^{\mu} << a^x（其中\alpha>0，\mu>0，a>1）
\]
\[例：\lim_{x\to\infty} \frac{ln^2x}{x^2}=0
\]
- （2）数列：\(n \to \infty\)时：
\[ln^an << n^{\beta} << a^n << n! << n^n
\]
5.3 无穷大量的性质
- （1）积：无穷大量\(\cdot\)无穷大量=无穷大量
- （2）和：有界量+无穷大量=无穷大量
- 注：无穷大量可为正也可为负，故无穷大量\(\cdot\)有界量、无穷大量+无穷大量的值\(不确定\)
5.4 无穷大量与无界变量
- （1）数列\({\{x_n\}}\)是无穷大量
\[\forall M>0，\exist N>0，当n>N，恒有：|x_n|>M
\]
- （2）数列\({\{x_n\}}\)是无界变量
\[\forall M>0 ，\exist N>0，恒有：|x_N|>M
\]
- 推论：无穷大量 \(\Rightarrow\)无界变量，反之不成立。
无穷大量与无界变量例题1：
\[数列\{x_n\}=
\begin{cases}
n，n为奇数\\
0，n为偶数
\end{cases}
\]
\[由无穷大量与无界变量的性质可知，\{x_n\}是无界变量，而非无穷大量
\]
无穷大量与无界变量例题2（1991年）：
\[设数列的通项为：
\]
\[X_n=
\begin{cases}
\frac{n^2+\sqrt{n}}{n}，n为奇数\\
\frac{1}{n}，n为偶数
\end{cases}
，当n\to \infty时，x_n是（）量
\]
\[解：
\]
\[n为奇数时：\lim_{n \to \infty}\frac{n^2+\sqrt{n}}{n}=\lim_{n \to \infty}n+\frac{1}{\sqrt{n}}
=\infty + 0 = \infty
\]
\[n为偶数时：\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0
\]
\[由无穷大量与无界变量的性质可知，\{x_n\}是无界变量，而非无穷大量
\]
6. 经典例题
6.1 极限的概念例题
数列的极限例题1（2006年3月）：
\[题目：\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{(-1)^n}
\]
- 解法1（洛必达法则）：
\[若n为偶数，有：
\]
\[\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{(-1)^n}
\]
\[=\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})=1
\]
\[若n为奇数，有：
\]
\[\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{(-1)^n}
\]
\[=\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{(-1)}
\]
\[=\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})=1
\]
- 解法2（夹逼原理）：
\[\because \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{(-1)} \leq \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{(-1)^n} \leq \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})=1
\]
\[又 \because \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{(-1)} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n}) =1
\]
\[\therefore \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{(-1)^n} =1
\]
- 解法3（凑出e）：
\[由\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e，可得：
\]
\[\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n})^{(-1)^n}=\lim_{n \to \infty}(\frac{n+1}{n})^{n \cdot \frac{1}{n} \cdot (-1)^n}
=\lim_{n \to \infty}e^{\frac{(-1)^n}{n}}
\]
\[=\lim_{n \to \infty}e^{\pm \frac{1}{n}}
=\lim_{n \to \infty}e^0 =1
\]
- 解法4（凑出e和ln）：
\[\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^{(-1)^n}
\Leftrightarrow
\lim_{n \to \infty} e^{ln(\frac{n+1}{n})^{(-1)^n}}
\]
\[=\lim_{n \to \infty}e^{(-1)^n \cdot ln(\frac{n+1}{n})}=e^0
\]
\[（其中(-1)^n为有界，\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}为无穷小）
\]
数列的极限例题2：
\[题目：
\]
\[(1)证明：\lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} |x_n| = |a|，但反之不成立。(2)证明：\lim_{n \to \infty} x_n = 0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} |x_n| = 0
\]
\[解：
\]
\[(1)的证明：对于\lim_{n \to \infty} x_n = a，由极限定义1可知，\forall \epsilon>0，\exist N>0，当n>N，恒有：|x_n - a|<\epsilon
\]
\[同理，对于lim_{n \to \infty} |x_n| = |a|，恒有：|\;|x_n| - |a|\;|<\epsilon
\]
\[而|x_n - a|<\epsilon \Rightarrow |\;|x_n| - |a|\;|<\epsilon，反之不成立
\]
\[故\lim_{n \to \infty} x_n = a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} |x_n| = |a|，但反之不成立.
\]
\[(2)的证明：由（1）的证明可得|x_n - 0|<\epsilon \Leftrightarrow |\;|x_n|-|0|\;|<\epsilon，故：\lim_{n \to \infty} x_n = 0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} |x_n| = 0
\]
数列的极限例题3（1992年）：
\[题目：“\forall \epsilon \in (0,1)，\exist N>0，当n>N，|x_n-a|\leq2\epsilon”是数列{X_n}收敛于a的：
\]
\[A. 充分非必要条件；B.必要非充分条件；C充要条件；D.非充非要条件
\]
\[解：
\]
\[由数列极限的定义：\forall \epsilon >0 ，\exist N>0，当n>N，恒有：|X_n-a|< \epsilon
\]
\[\Leftrightarrow 数列{X_n}收敛于a
\]
\[由于：\epsilon 是任意值，仅用于表示n\to \infty 时，X_n在a的某一去心领域内有取值
\]
\[故|X_n-a|< \epsilon、|X_n-a|< 2\epsilon 在此处的含义相同
\]
\[即：“\forall \epsilon \in (0,1)，\exist N>0，当n>N，|x_n-a|\leq2\epsilon” \Leftrightarrow 数列{X_n}收敛于a
\]
\[（充要条件）
\]
数列的极限例题4（2015年）：
\[题目：设\{X_n\}是数列，下列命题中不正确的是：
\]
\[A. \lim_{n \to \infty}X_n=a \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to \infty}X_{2n}=
\lim_{n \to \infty}X_{2n+1}=a
\]
\[B. \lim_{n \to \infty}X_{2n}=
\lim_{n \to \infty}X_{2n+1}=a \quad \Rightarrow \quad\lim_{n \to \infty}X_n=a
\]
\[C. \lim_{n \to \infty}X_n=a \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to \infty}X_{3n}=
\lim_{n \to \infty}X_{3n+1}=a
\]
\[D. \lim_{n \to \infty}X_{3n}=
\lim_{n \to \infty}X_{3n+1}=a \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to \infty}X_n=a
\]
\[解：
\]
\[由数列及其部分列的性质可得：A、C选项均为数列极限推出其部分列极限，故正确；
\]
\[B选项为部分列极限均相等，从而推出数列极限，故正确；
\]
\[D选项仅有X_{3n}、X_{3n+1}两个部分列的极限相等（缺X_{3n+2}的极限），故无法推出数列极限\lim_{n \to \infty}X_n=a
\]
数列的极限例题5（2022年）：
- 题目：
\[设有数列X_n，其中X_n满足：-\frac{\pi}{2} \leq X_n \leq \frac{\pi}{2}，则：
\]
\[A. \lim_{n \to \infty}cos(sin(X_n))存在 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}X_n存在
\]
\[B. \lim_{n \to \infty}sin(cos(X_n))存在 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}X_n存在
\]
\[C. \lim_{n \to \infty}cos(sin\,X_n)存在 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}sin\,X_n存在，但\lim_{n \to \infty}X_n不一定存在
\]
\[D. \lim_{n \to \infty}sin(cos\,X_n)存在 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}cos\,X_n存在，但\lim_{n \to \infty}X_n不一定存在
\]
- 解：
\[X_n \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \Rightarrow sin\,X_n \in [-1,1]，cos\,X_n \in [0,1]，由此可采用多种解法如下：
\]
- 解法1：
\[对于奇函数sin\,X_n，当X_n \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]，其满足： \forall sin\,X_n \in [-1,1]，\exist 唯一X_n与之对应（即sin\,X_n在此区间的反函数存在）
\]
\[故有：\lim_{x \to \infty} sin\,X_n存在 \Rightarrow \lim_{x \to \infty}X_n 存在
\]
\[对于偶函数cos\,X_n，当X_n \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]，其满足： \forall cos\,X_n \in [0,1]，\exist 多个X_n与之对应（即cos\,X_n在此区间的反函数不存在）
\]
\[故有：\lim_{x \to \infty} cos\,X_n存在 \not\Rightarrow \lim_{x \to \infty}X_n 存在
\]
\[ 或 \lim_{x \to \infty} cos\,X_n存在 \Rightarrow \lim_{x \to \infty}X_n 不一定存在
\]
\[\xrightarrow则对于A、B选项，由于cos在此区间的反函数不存在，无法得到唯一X_n的值与之对应，故A、B项均错误；
\]
\[同理对于C选项，cos函数无法得到唯一sin\,X_n与之对应，故 \lim_{x \to \infty} sin\,X_n不一定存在；
\]
\[对于D选项，sin函数可得到唯一cos\,X_n与之对应，而cos中无法得到唯一的X_n与之对应，故D选项正确。
\]
- 解法2：
\[由X_n \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]：
\]
\[对于A、C选项：由\lim_{n \to +\infty}sin\,X_n=1，\lim_{n \to -\infty}sin\,X_n=-1\Rightarrow\lim_{n \to \infty}sin\,X_n不存在
\]
\[由cos是偶函数 \Rightarrow cos(sin\,X_n)存在
\]
\[由sin\,在此区间的反函数存在：\Rightarrow \lim_{n \to \infty}X_n不一定存在
\]
\[对于B、D选项：由\lim_{n \to \infty}cos\,X_n=0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty}sin(cos\,X_n)存在；由cos\,X_n在此区间反函数不存在：
\]
\[\Rightarrow \lim_{n \to \infty}X_n不一定存在
\]
数列的极限例题6（1993年）：
- 题目：
\[当x \to 0时，变量\frac{1}{x^2}sin\frac{1}{x}是（）
\]
\[A.无穷小 \quad B.无穷大 \quad
\]
\[C.有界的，但非无穷小
\]
\[D.无界的，但非无穷大
\]
- 解：
\[当x \to 0时，sin\,\frac{1}{x}极限在(-1,1)间波动，可由此构造特殊取值进行求解。
\]
- 判断\(x \to 0\)时的有界性：
\[对于原函数式f(x)=\frac{1}{x^2}sin\frac{1}{x}，若x=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}(n \in \mathbb{N}^*)，其满足：
\]
\[\forall M>0，\exist \delta>0
\]
\[当0<|x-0|<\delta时：|f(x)|=|(2n\pi+\frac{\pi}{2})^2|>M
\]
\[\Rightarrow 当x\to 0 时，f(x)是无界的。
\]
- 判断\(x \to 0\)时的极限：
\[对于原极限式\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}sin\frac{1}{x}，若x=\frac{1}{2n\pi}(n \in \mathbb{N}^*)，其满足：
\]
\[\forall \epsilon >0，\exist \delta>0
\]
\[则当0<|x-0|<\delta时，恒有：|f(x)-0|<\epsilon
\]
\[\Rightarrow 当x\to 0 时，f(x)非无穷大。
\]
函数的极限例题1（1992年）：
\[题目：当x \to 1时，求函数\frac{x^2-1}{x-1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}的极限。
\]
\[解：
\]
\[\lim_{x\to1^+}\frac{x^2-1}{x-1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=2\cdot+\infty=+\infty
\]
\[\lim_{x\to1^-}\frac{x^2-1}{x-1}\cdot e^{\frac{1}{x-1}}=2\cdot0=0
\]
\[故：该函数的极限不存在，且不为\infty
\]
函数的极限例题2（2021年）：
\[题目：已知\lim_{x \to 0}[a \cdot arctan\frac{1}{x}+(1+|x|)^{\frac{1}{x}}]，求a的值。
\]
\[解：
\]
\[对原式求右极限，有：\lim_{x \to 0^+}[a \cdot arctan\frac{1}{x}+(1+|x|)^{\frac{1}{x}}]
\]
\[\qquad\qquad\qquad=a\cdot\frac{\pi}{2}+\lim_{x \to 0^+}e^{\frac{1}{x}\cdot ln(1+x)}
\]
\[\qquad\qquad\qquad\qquad=a\cdot\frac{\pi}{2}+\lim_{x \to 0^+}e^{\frac{x}{x}}
=a\cdot\frac{\pi}{2}+e
\]
\[对原式求左极限，有：\lim_{x \to 0^-}[a \cdot arctan\frac{1}{x}+(1+|x|)^{\frac{1}{x}}]
\]
\[\qquad\qquad\qquad\qquad=-a\cdot\frac{\pi}{2}+\lim_{x \to 0^-}e^{\frac{1}{x}\cdot ln(1+(-x))}
\]
\[\qquad\quad=-a\cdot\frac{\pi}{2}+e^{-1}
\]
\[由题意有：a\cdot\frac{\pi}{2}+e=-a\cdot\frac{\pi}{2}+e^{-1}
\]
\[\Rightarrow a=\frac{e^{-1}-e}{\pi}
\]
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